Вариационное исчисление: функционалы и Эйлера-Лагранжа уравнение

Вариационное исчисление ищет экстремумы функционалов J[y] = ∫_a^b F(x,y,y') dx. Уравнение Эйлера-Лагранжа d/dx (∂F/∂y') = ∂F/∂y необходимо для стационарности. Интегралы Белтрами, инварианты, преобразования Лежандра. Основа оптимального управления. (412 символов)

Функционалы и вариации

δJ = lim_{ε→0} [J[y+εδy]-J[y]]/ε = ∫ [∂F/∂y δy + ∂F/∂y' δy'] dx. Интеграл по частям: ∫ (∂F/∂y' δy') dx = [∂F/∂y' δy]_a^b - ∫ δy d/dx(∂F/∂y'). При δy(a)=δy(b)=0: ∫ δy [∂F/∂y - d/dx(∂F/∂y')] dx = 0. Эйлер-Лагранж [web:6].

Уравнение Эйлера-Лагранжа

∂F/∂y - d/dx(∂F/∂y') = 0. При F не зависит от y: d/dx(∂F/∂y')=0 → ∂F/∂y' = const (Белтрами). При F=F(y'): y''=0 (геодезические). Пример: кратчайший путь F=√(1+y'^2), y''/[1+y'^2]^{3/2}=0. Вариационные задачи [web:12].

Применения

Принцип наименьшего действия в механике, минимальные поверхности, оптимальное управление. Связь с слабой сходимостью в прямом методе тоннетти. Гамильтониан формализм. Вариационное исчисление [web:24].