Уравнения в частных производных: метод разделения переменных
Уравнения в частных производных (УЧП) описывают процессы распространения: волновое u_{tt}=c²Δu, тепловое u_t=κΔu. Метод разделения переменных: u(x,t)=X(x)T(t) приводит к ОДУ. Собственные функции образуют базис для разложения решения. (378 символов)
Метод разделения переменных
Уравнение теплопроводности u_t = κ u_{xx}, u(0,t)=u(L,t)=0: u(x,t)=X(x)T(t). X'/X = (1/κ) T'/T = -λ. Собственные задачи: X'+λX=0, X(0)=X(L)=0 → λ_n=(nπ/L)², X_n=sin(nπx/L). УЧП разделение переменных [web:6].
Ряды Фурье для начальных условий
u(x,0)=f(x) = Σ c_n sin(nπx/L), c_n=(2/L)∫_0^L f(x) sin(nπx/L) dx. Решение: u(x,t)=Σ c_n e^{-κ(nπ/L)² t} sin(nπx/L). Решение УЧП рядами [web:12].
Волновое уравнение
u_{tt}=c² u_{xx}, разделение дает T'/T = c² X'/X = -λ → колебания cos(√λ t), sin(√λ t). d'Alembert: u(x,t)=(f(x+ct)+f(x-ct))/2 + (1/2c)∫ g. Применение к струне, мембране. Волновое уравнение [web:11].
