Тензорное исчисление: ковариантная дифференциация и связность
(k,l)-тензор T^{i_1...i_k}_{j_1...j_l} преобразует по правилу T' = (∂x'^p/∂x^i) ... (∂x^j/∂x'^q) T. Ковариантная производная ∇_k T^i_j = ∂_k T^i_j + Γ^i_{km} T^m_j - Γ^m_{kj} T^i_m. Торсия T^k_{ij} = Γ^k_{ij}-Γ^k_{ji}, кривизна R как коммутатор ∇. Основа общей теории относительности. (432 символа)
Тензорные преобразования
Контравариантно: T'^i = (∂x'^i/∂x^j) T^j. Ковариантно: T'_i = (∂x^j/∂x'^i) T_j. Метрика g_{ij} переводит индексы. Симметричные S_{(ij)}, антисимметричные A_{[ij]}. Тензорное исчисление [web:11].
Ковариантная дифференциация
∇_k V^i = ∂_k V^i + Γ^i_{kj} V^j, ∇_k V_j = ∂_k V_j - Γ^i_{kj} V_i. Линейна, удовлетворяет Лейбницу. Связность Levi-Civita: Γ симметричны, метрически совместимы ∇g=0. Ковариантная производная [web:5].
Показывает холономию.
Применения
Уравнения Эйнштейна R_{ij}-½Rg_{ij}=8πT_{ij}. Связь с риманновыми многообразиями. Конформные преобразования δg_{ij}=2φ g_{ij}. Тензорный анализ [web:18].
Книги: Демидович тензоры, Зорич тензорный анализ, Фихтенгольц тензоры.
