Соболевские пространства: слабые производные и вложения
Соболевское пространство W^{k,p}(Ω): функции u∈L^p с обобщенными производными D^αu∈L^p ∀|α|≤k. H^k = W^{k,2} гильбертовы. Теоремы вложений Соболева: W^{k,p} ⊂ C^m при k-m > n/p. Следы, расширения. Основа теории слабых решений ДУ. (398 символов)
Слабые производные
D^αu = v ∈ L^p(Ω) при ∫ u D^αφ = (-1)^{|α|} ∫ v φ ∀φ∈C_c^∞(Ω). H^1_0(Ω): функции с нулевым следом на ∂Ω. Теорема Ритца: H^1_0 ⊂ H^1 плотное. Соболевские пространства [web:6].
Теорема вложений Соболева
W^{k,p}(ℝ^n) ⊂ L^q ∀q≤np/(n-kp) при kp
Применения к ДУ
Слабые решения: ∫ ∇u∇v = ∫ f v ∀v∈H^1_0. Экзистенция по Лакс-Мильграму, Лионвилем. Регулярность по Бутчару-Калдерону-Шкловскому. Связь с дифференциальными формами. Слабые решения ДУ [web:11].
Книги: МГТУ Соболев, Зорич Соболевские, Фихтенгольц Соболев.
