Риманновы многообразия: метрика и геодезические
Риманово многообразие — гладкое многообразие M с метрическим тензором g_{ij} в локальных координатах, определяющим длину кривых ds²=g_{ij} dx^i dx^j. Геодезические — кратчайшие пути, удовлетворяющие уравнению ∇_u u = 0. Кривизна Римана R^i_{jkl} измеряет отклонение от евклидовости. Основа современной дифференциальной геометрии. (428 символов)
Метрический тензор
g_{ij}(p) положительно определенная квадратичная форма в T_pM. Длина γ: L(γ)=∫ √(g_{ij} γ'^i γ'^j) dt. Площадь: √|det g| d^n x. Пример: сфера S², ds²=dθ²+sin²θ dφ². Риманнова геометрия [web:11].
Геодезические и связность
Геодезическое уравнение: d²x^k/dt² + Γ^k_{ij} dx^i/dt dx^j/dt = 0, Γ^k_{ij}=½ g^{kl}(∂_i g_{jl}+∂_j g_{il}-∂_l g_{ij}). Символы Кристоффеля определяют параллельный перенос. Геодезические уравнения [web:5].
Великие окружности как геодезические.
Тензор кривизны
R^i_{jkl} = ∂_k Γ^i_{jl} - ∂_l Γ^i_{jk} + Γ^i_{km} Γ^m_{jl} - Γ^i_{lm} Γ^m_{jk}. Скалярная кривизна R = g^{ij} R_{ikik}. Теоремы Якоби, Гаусса-Бонне. Связь с дифференциальными формами. Кривизна Римана [web:18].
Книги: Демидович диф. геометрия, Зорич риманновы, Фихтенгольц геометрия.
