Метрические пространства: нормированные пространства и полнота
Метрическое пространство (X,d) — множество с расстоянием d(x,y)≥0, d(x,y)=0 ⇔ x=y, симметричностью и неравенством треугольника. Нормированное пространство: ||x|| определяет метрику d(x,y)=||x-y||. Полное пространство (Банахово) — всякая фундаментальная последовательность сходится. Основа функционального анализа. (398 символов)
Аксиомы метрического пространства
1) d(x,y)≥0, =0 ⇔ x=y; 2) d(x,y)=d(y,x); 3) d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z). Примеры: ℝⁿ с евклидовой метрикой d(x,y)=√Σ(x_i-y_i)², l^∞ с sup-нормой. Метрические пространства [web:11].
Нормированные пространства
||x||≥0, ||x||=0 ⇔ x=0, ||λx||=|λ|||x||, ||x+y||≤||x||+||y||. p-нормы: ||x||_p = (Σ|x_i|^p)^{1/p}. Теорема Рисса: все нормы на конечномерном ℝⁿ эквивалентны. Нормированные пространства [web:5].
Иллюстрирует неравенство треугольника.
Полнота и банаховы пространства
Последовательность {x_n} фундаментальна: ∀ε>0 ∃N ∀m,n>N d(x_m,x_n)<ε. Полнота: всякая фундаментальная последовательность сходится. Примеры: ℝ, l² (Гильбертово), L^p. Связь с функциональным анализом. Полные пространства [web:18].
Книги: Демидович функциональный анализ, Зорич Том 2, Фихтенгольц функциональный.
