Криволинейные и поверхностные интегралы

Криволинейный интеграл 1-го рода ∫_C f ds — работа вдоль кривой, 2-го рода ∫_C F · dr — поток через кривую. Поверхностный ∬_S F · dS — поток через поверхность. Параметризация: ds = ||r'(t)|| dt, dr = r'(t) dt. Основные инструменты векторного анализа. (392 символа)

Криволинейный интеграл вдоль параметрической кривой

Криволинейные интегралы первого рода

∫_C f(x,y) ds = ∫_a^b f(r(t)) ||r'(t)|| dt. Независим от параметризации. Пример: длина дуги ∫_C ds. Криволинейные интегралы [web:11].

Криволинейные второго рода

∫_C P dx + Q dy = ∫_a^b [P(x(t),y(t)) x'(t) + Q y'(t)] dt. Консервативное поле: ∫_C F · dr = f(B) - f(A). Условие: ∂P/∂y = ∂Q/∂x. Векторные поля [web:19].

Поверхностные интегралы

∬_S f dS = ∬_D f(r(u,v)) ||r_u × r_v|| du dv. Поток ∬_S F · n dS = ∬_D F · (r_u × r_v) du dv. Связь с кратными интегралами. Поверхностные интегралы [web:6].