Кратные интегралы: двойные и тройные

Кратные интегралы обобщают определенный интеграл на несколько переменных: ∬_D f(x,y) dA, ∭_V f(x,y,z) dV. Вычисляются итерационно: ∬_D f dA = ∫_a^b [∫_{g(x)}^{h(x)} f(x,y) dy] dx. Используются для объемов, масс, моментов инерции в многомерной геометрии и физике. (378 символов)

Область интегрирования двойного интеграла

Двойные интегралы

Итерационное вычисление: Fubini ∬_D f dA = ∫∫ f(x,y) dx dy при непрерывности f. Полярные координаты: dA = r dr dθ. Пример: ∬_D (x²+y²) dA над кругом x²+y²≤1 = ∫_0^{2π} ∫_0^1 r^3 dr dθ = π/2. Кратные интегралы [web:24].

Тройные интегралы

∭_V f dV = ∫∫∫ f(x,y,z) dx dy dz. Сферические: dV = ρ² sinφ dρ dφ dθ, цилиндрические: r dr dθ dz. Теорема о среднем для кратных: ∭ f dV = f(c) Vol(V). Многомерные интегралы [web:20].

$Двойной интеграл в полярных координатах$ Показывает преобразование координат.

Применения

Объем тела вращения, центр масс, моменты инерции. Связь с криволинейными интегралами. Теоремы смены переменных: ∬_D f(g(u,v)) |J| du dv, J=Jacobian. Jacobian кратных интегралов [web:18].