Комплексный анализ: голоморфные функции

Голоморфная функция f(z) дифференцируема в смысле комплексной производной f'(z) = lim_{h→0} [f(z+h)-f(z)]/h, h∈ℂ. Условие Коши-Римана: ∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = -∂v/∂x для f = u+iv. Голоморфные функции аналитичны всюду в области. (378 символов)

Комплексная функция как поверхность в ℝ³

Условия Коши-Римана

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) голоморфна при ∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = -∂v/∂x и непрерывности частных производных. Пример: f(z)=z² = (x²-y²) + i(2xy). Лапласово: Δu = Δv = 0. Комплексный анализ [web:8].

Свойства голоморфных функций

Максимальный модуль: |f| не имеет локальных максимумов внутри области. Открытое отображение: f(Ω) открыто. Интеграл по замкнутому контуру ∮ f dz = 0. Голоморфные функции [web:5].

Интегральная теорема Коши

f голоморфна в G, содержащей замкнутый контур C: ∮_C f(z) dz = 0. Формула Коши: f(a) = (1/2πi) ∮_{|z-a|=r} f(z)/(z-a) dz. Ряд Лорана для особенностей. Комплексный интеграл [web:33].