Интеграл Лебега: меры и интегрируемость
Интеграл Лебега обобщает римановский на произвольные множества: ∫_X f dμ = ∫_0^∞ μ({f≥t}) dt - ∫_{-∞}^0 [μ({f≥t})-μ(X)] dt. Лебега мера σ-аддитивна: μ(∪ A_i) = Σ μ(A_i) при попарной несдвигаемости. L^p пространства: ||f||_p = (∫ |f|^p dμ)^{1/p} < ∞. Основа современной теории меры. (428 символов)
Теория меры Лебега
Полукольцо → кольцо Карте → σ-алгебра. Внешняя мера μ^*(E) = inf Σ l(I_n), покрывающих интервалах. Измеримая функция: {f≥t} измеримо ∀t. Монотонная сходимость: f_n↑f ⇒ ∫f_n → ∫f. Мера Лебега [web:8].
Свойства интеграла Лебега
Доминированная сходимость: |f_n|≤g∈L^1, f_n→f ⇒ ∫f_n→∫f. L^p: гёльдерово ||fg||_1 ≤ ||f||_p ||g||_q, 1/p+1/q=1. Fubini-Tonelli для кратных. Интеграл Лебега свойства [web:5].
Показывает эквивалентность норм.
Применения
Вероятностные пространства, функциональный анализ, ряды Фурье. Связь с слабой сходимостью. Теорема Рисса: L^p(ℝ) полны. L^p пространства [web:18].
Книги: Демидович мера Лебега, Зорич Том 2 Лебега, Фихтенгольц Лебега, Справочное Лебег.
