Функциональный анализ: линейные операторы и спектры

Функциональный анализ изучает линейные операторы A: X→Y в нормированных пространствах. Спектр σ(A) = {λ∈ℂ: A-λI невырожден}. Собственные значения, собственные и сопряженные векторы. Компактные операторы имеют дискретный спектр с 0 как единственной предельной точкой. (412 символов)

Линейные операторы

Билинейные формы , непрерывные при |||| ≤ C||x||||y||. Операторы ограничены: ||Ax|| ≤ M||x||. Теорема банах-Штейнгауза: равномерная ограниченность семейства. Линейные операторы [web:24].

Спектральная теория

Резольвента R_λ = (A-λI)^{-1}. Спектр: точечный (собственные значения), непрерывный, остаточный. Для самосопряженных в Гильбертовом: σ(A) ⊂ ℝ. Теорема спектрального разложения. Спектральная теория [web:8].

Компактные операторы

Образуют сферу в шаре → 0. Спектр дискретен: λ_n → 0, конечная кратность кроме λ=0. Применение к ДУ: метод Фредгольма. Связь с метрическими пространствами. Компактные операторы [web:19].