Функции нескольких переменных: частные производные

Функция z = f(x,y) нескольких переменных дифференцируема по x при фиксированном y: ∂f/∂x = lim_{h→0} [f(x+h,y)-f(x,y)]/h. Частная производная описывает скорость изменения по одной координате. Смешанные производные ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x по т. Шварца при непрерывности. (352 символа)

Поверхность z=f(x,y) с частными производными

Определение частных производных

∂f/∂x|_{y=const}, ∂f/∂y|_{x=const}. Геометрически: угловой коэффициент касательной в направлении осей. Пример: f(x,y)=x²y + sin(xy), ∂f/∂x=2xy + y cos(xy), ∂f/∂y=x² + x cos(xy). Частные производные примеры [web:11].

Свойства и правила дифференцирования

Линейность, цепное правило: ∂/∂x [F(u(x,y))] = F'(u) ∂u/∂x. Теорема Шварца: если ∂²f/∂x∂y и ∂²f/∂y∂x непрерывны, то равны. Высшие частные производные обозначаются D_{xy...z} f. Многомерное дифференцирование [web:7].

$График частных производных$ Показывает направления дифференцирования.

Применения

Градиент ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) — направление наискорейшего роста. Связь с полными дифференциалами. Максимумы: ∂f/∂x=∂f/∂y=0. Функции многих переменных [web:19].