Эллиптические регуляризации: эллиптические ДУ и априорные оценки

Эллиптическое ДУ: ∑ ∂_i (a^{ij} ∂_j u) + b^i ∂_i u + c u = f. Регулярность: u∈H^1 ⇒ u∈C^∞ при гладких коэффициентах. Априорные оценки: ||u||_{H^{k+1}} ≤ C(||f||_{H^{k-1}} + ||u||_{L^2}). Основа теории слабых решений эллиптических задач. (398 символов)

Эллиптичность и максимальный принцип

Эллиптичность: a^{ij} ξ_i ξ_j ≥ θ||ξ||². Максимум: sup u ≤ max_∂Ω u для гармонических. Шире: u^+ ≤ C||f||_∞. Эллиптические ДУ [web:6].

Априорные оценки

Энергия: ∫ a^{ij} ∂_i u ∂_j u ≥ θ ∫ |∇u|². Gårding: форма положительно определена. Теорема Лакс-Мильграма: экзистенция в H^1_0. Шкловский: C^α регулярность. Регулярность эллиптических [web:12].

Бутчару регуляризация

u∈H^1, Lu=f∈L^2 ⇒ u∈H^2. Итеративно C^∞. Связь с гиперболическими системами через параболические. Применение: стационарные состояния. Априорные оценки [web:11].