Дифференциалы и полные дифференциалы

Дифференциал df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy линейно аппроксимирует приращение функции. Полный дифференциал при y=y(x): df = (∂f/∂x + ∂f/∂y y') dx. Условие точности: ∂M/∂y = ∂N/∂x для M dx + N dy. Используется для интегрирования и численных методов. (378 символов)

Определение дифференциала

df = Σ (∂f/∂x_i) dx_i — главная часть линейная приращения. Относительная ошибка o(Δx)/|Δx| → 0. Для z=f(x,y): Δz = df + ε, ε→0 при Δx,Δy→0. Дифференциалы в анализе [web:24].

Полный дифференциал

При z(x), y(x): dz = f_x dx + f_y dy, dy = y' dx, dz = (f_x + f_y y') dx = z' dx. Точность дифференциала: P(x,y) dx + Q(x,y) dy полон, если ∂P/∂y = ∂Q/∂x. Интегрирующий фактор μ(x,y). Полные дифференциалы [web:18].

Применения

Численное интегрирование, оценка погрешностей, решение ДУ первого порядка. Связь с теоремой Стокса через внешние формы. Пример: d(u² + v²) = 2u du + 2v dv. Дифференциалы примеры [web:6].