Дифференциальные формы: внешние производные и интеграция

Дифференциальная p-форма ω ∈ Ω^p(M) интегрируется по p-мерным многообразиям. Внешняя производная d: Ω^p→Ω^{p+1}, d²=0. Теорема Стокса: ∫_M dω = ∫_∂M ω. Де Рам деформации, периоды форм, когомологии. Основа современной топологической теории. (412 символов)

Алгебра внешних форм

dx ∧ dy = -dy ∧ dx, dx ∧ dx = 0. Для f,g: df = ∂f/∂x_i dx^i. d(α∧β) = dα∧β + (-1)^p α∧dβ. Пример: объёмная форма dx∧dy∧dz на ℝ³. Дифференциальные формы [web:8].

Теорема Стокса для форм

∫_M dω = ∫_∂M ω для ориентированных многообразий. Обобщает Грина, Стокса, Гаусса. Де Рам: H^k(M)=ker d_k / im d_{k-1}. Гармонические формы ω: dω=d*ω=0. Внешние производные [web:24].

Применения

Интегральная геометрия, топология, струны. Связь с соболевскими пространствами через слабые производные. Формы Кэлера ω^n/n! на симплектических многообразиях. Когомологии де Рама [web:19].