Методы решения интегральных уравнений Вольтерры: системы с эффектом затухающей памяти
Когда прошлое непрерывно влияет на будущее
В мире классической ньютоновской механики состояние системы в следующий момент времени зависит исключительно от ее состояния в текущий момент. Это принцип локальности Маркова, и математически он описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). Однако в реальности существует колоссальное количество процессов, поведение которых определяется всей их предысторией. Деформация вязкоупругого полимера зависит от того, как его растягивали последние несколько часов. Рост популяции хищников зависит от количества съеденных жертв за предыдущий год. Эволюция заряда в сложных конденсаторах зависит от предшествующего напряжения.
Такие физические процессы с «исторической памятью» адекватно описываются интегральными уравнениями Вольтерры. Главной отличительной чертой уравнения Вольтерры (в отличие от уравнений Фредгольма) является то, что верхний предел интеграла не является фиксированным числом, а представляет собой саму независимую переменную (чаще всего время t). То есть мы интегрируем искомую функцию от момента зарождения системы (t=0) до текущего момента времени. Искомая функция может стоять только под знаком интеграла (уравнения первого рода) или присутствовать и вне его (уравнения второго рода).
Численные квадратуры и сведение к рекуррентной системе
Аналитическое решение уравнений Вольтерры в замкнутом виде (через преобразование Лапласа или резольвенту) возможно лишь для очень узкого класса задач с простыми разностными ядрами. В инженерной практике применяются исключительно численные методы дискретизации. Самым популярным и исторически первым подходом является метод квадратур.
Идея метода квадратур интуитивно понятна. Мы вводим на оси времени сетку дискретных узлов. Затем мы заменяем непрерывный интеграл из уравнения Вольтерры его конечно-разностным приближением (например, по формуле трапеций или методу Симпсона). Благодаря тому, что верхний предел интеграла переменный, мы получаем не единую гигантскую матрицу (как у Фредгольма), а удобную треугольную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Эту систему не нужно решать сложными матричными методами. Она решается последовательно, шаг за шагом (методом прямой подстановки). Чтобы вычислить значение функции на n-ном шаге, алгоритму достаточно подставить в формулу уже известные, вычисленные значения функции на всех предыдущих шагах. Этот процесс очень напоминает численное интегрирование ОДУ, но с существенной оговоркой: объем вычислений растет катастрофически. На каждом новом временном шаге алгоритм должен заново пересчитать интеграл по всей предыстории.
Методы коллокации и аналоги Рунге-Кутты
Для достижения более высокой математической точности применяются проекционные методы коллокации. В этом подходе приближенное решение ищется не в виде дискретных точек, а в виде кусочно-непрерывных полиномов (сплайнов). Мы требуем, чтобы уравнение Вольтерры выполнялось строго (невязка равнялась нулю) в определенных точках-коллокациях внутри каждого временного отрезка.
Для уравнений Вольтерры второго рода математиками были разработаны специальные адаптации методов Рунге-Кутты (V-R-K методы). Они обеспечивают высокий порядок сходимости, но анализ их численной устойчивости невероятно сложен. В отличие от ОДУ, устойчивость схемы для интегрального уравнения зависит не только от шага по времени, но и от поведения ядра интегрального оператора. Ошибки округления могут накапливаться в интегральной сумме и приводить к экспоненциальной раскачке алгоритма, что требует применения жестко-устойчивых неявных квадратурных формул дифференцирования назад (BDF).
