Оптические свойства поверхностей второго порядка: 3D-рефлекторы

Параболоид вращения: идеальный коллиматор

Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси симметрии. Его каноническое уравнение: x^2/a^2 + y^2/a^2 = 2z. Эта поверхность обладает одним фокусом, расположенным на оси вращения. В аналитической геометрии доказывается, что касательная плоскость в любой точке параболоида образует равные углы с фокальным радиус-вектором (направленным в эту точку из фокуса) и вектором, строго параллельным оси Z. Оптическое следствие из этого факта грандиозно: если поместить точечный источник света в фокус параболоида, то все лучи, отразившись от внутренней зеркальной поверхности, образуют идеально параллельный цилиндрический пучок. Именно поэтому отражатели в автомобильных фарах, прожекторах и спутниковых антеннах имеют форму параболоида.

Эллипсоид: фокальная фокусировка (Литотрипсия)

Вытянутый эллипсоид вращения (продольный эллипсоид) имеет два фокуса, расположенных на его главной геометрической оси. Аналитический расчет векторов нормалей на его поверхности доказывает, что луч, испущенный из одного фокуса в любом случайном направлении, после отражения от внутренней стенки эллипсоида со стопроцентной точностью придет во второй фокус. При этом пройденный путь (сумма расстояний) для всех лучей будет абсолютно одинаковым. В медицине это свойство реализовано в литотрипторах: в одном фокусе эллипсоидального отражателя происходит электрический разряд, создающий ударную волну. Отражатель фокусирует всю энергию этой волны во втором фокусе, который хирурги совмещают с почечным камнем пациента, разрушая его без разрезов и повреждения окружающих тканей.

Двуполостный гиперболоид: телескоп Кассегрена

Двуполостный гиперболоид вращения (x^2/a^2 + y^2/a^2 - z^2/c^2 = -1) также имеет два фокуса, но его оптическое поведение имеет «мнимый» характер. Луч света, направленный извне точно в один из фокусов гиперболоида, после отражения от его выпуклой поверхности пойдет так, как будто он исходит из второго фокуса. Это парадоксальное свойство (отражение со смещением виртуального центра) лежит в основе конструкции крупнейших оптических телескопов-рефлекторов системы Кассегрена. В таких телескопах огромное первичное параболическое зеркало собирает свет от далеких звезд и направляет его к своему фокусу. Однако на пути света устанавливается небольшое вторичное зеркало, имеющее форму выпуклого гиперболоида. Оно перехватывает сходящийся пучок и переотражает его через отверстие в главном зеркале прямо в окуляр.

Расчет касательных плоскостей

Строгое доказательство всех этих оптических свойств опирается на уравнение касательной плоскости к поверхностям второго порядка. Так же, как и на плоскости, в 3D-геометрии работает правило поляризации (расщепления координат). Например, уравнение касательной плоскости к эллипсоиду в точке (x0; y0; z0) мгновенно записывается как (x0*x)/a^2 + (y0*y)/b^2 + (z0*z)/c^2 = 1. Коэффициенты при переменных x, y, z в этом уравнении формируют точный вектор нормали к поверхности в данной точке. Вычисляя скалярные произведения этого вектора нормали с векторами падающего и отраженного лучей, инженеры математически доказывают идеальное выполнение законов геометрической оптики для пространственных поверхностей вращения.