B-сплайны и NURBS: высшая аналитическая геометрия в САПР

Базисные функции и локальный контроль

В отличие от полиномов Бернштейна, которые действуют на всем интервале кривой Безье, базисные функции B-сплайнов обладают так называемым локальным носителем. Это означает, что каждая базисная функция отлична от нуля только на строго ограниченном отрезке параметрического пространства. Геометрически это приводит к тому, что перемещение одной контрольной точки изменяет форму кривой только в ее непосредственной окрестности, оставляя остальную часть траектории абсолютно нетронутой. Кроме того, B-сплайны позволяют инженерам свободно выбирать степень кривой (обычно используются кубические сплайны со степенью 3) независимо от того, сколько сотен или тысяч контрольных точек образуют направляющий ломаный контур.

Узловой вектор (Knot Vector)

Фундаментальным математическим нововведением в B-сплайнах является узловой вектор. Это неубывающая последовательность действительных чисел (узлов), которая делит общее параметрическое пространство кривой на отдельные сегменты. Именно узловой вектор определяет, как именно базисные функции перекрываются и стыкуются друг с другом. Если расстояния между узлами одинаковы, сплайн называется однородным (Uniform). Если расстояния меняются или узлы дублируются (имеют кратность), сплайн становится неоднородным (Non-Uniform). Введение кратных узлов позволяет дизайнерам математически точно управлять гладкостью кривой в точках стыка сегментов: от идеальной кривизной гладкости (G2) до создания острых углов и изломов, просто поместив несколько узлов в одну координату параметрического пространства.

Формула Кокса-де Бура

Вычисление базисных функций B-сплайна аналитически производится не через прямые полиномиальные уравнения, а через рекурсивный алгоритм, известный как формула Кокса-де Бура (Cox-de Boor recursion formula). Базисные функции нулевой степени представляют собой простые ступенчатые функции (равные 1 внутри одного узлового интервала и 0 вне его). Базисные функции более высоких степеней вычисляются как линейные интерполяции базисных функций предыдущей степени. Этот рекурсивный метод обладает фантастической вычислительной устойчивостью. Компьютерам не требуется возводить числа в высокие степени, что полностью исключает ошибки машинного округления при рендеринге сложных поверхностей авиационных турбин или автомобильных кузовов.

Рациональные сплайны и точные коники

Несмотря на всю мощь обычных B-сплайнов, они не способны аналитически точно описать простейшую окружность или эллипс (они могут лишь бесконечно близко аппроксимировать их). Чтобы объединить мир свободных форм и мир классических конических сечений, математики ввели рациональные сплайны. В NURBS каждой контрольной точке назначается дополнительный скалярный параметр — вес (weight). Алгебраически уравнение NURBS представляет собой дробь: в числителе стоит сумма координат, умноженных на базисные функции и веса, а в знаменателе — сумма базисных функций, умноженных на веса. Изменяя вес конкретной точки, мы можем сильнее «притянуть» кривую к этой точке или «оттолкнуть» ее. Именно эта рациональная (дробная) природа позволяет NURBS с абсолютной математической точностью описывать окружности, дуги и сферы, что критически важно для машиностроительного черчения.