Аффинные системы координат и косоугольные базисы

Определение аффинного репера

Аффинная система координат (аффинный репер) в трехмерном пространстве геометрически задается точкой отсчета $O$ (началом координат) и тройкой произвольных некомпланарных векторов $e_1, e_2, e_3$. Единственное жесткое алгебраическое требование — эти базисные векторы должны быть линейно независимыми, то есть их смешанное произведение не должно равняться нулю. Радиус-вектор любой точки $M$ в пространстве единственным образом раскладывается по этому базису: $OM = x e_1 + y e_2 + z e_3$. Числа $x, y, z$ и называются аффинными координатами точки. Геометрически они представляют собой длины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостями, которые проведены через точку $M$ параллельно соответствующим координатным плоскостям базиса.

Крушение теоремы Пифагора и Матрица Грама

В декартовой системе длина вектора вычисляется по тривиальной теореме Пифагора: $r^2 = x^2 + y^2 + z^2$. В аффинной (косоугольной) системе эта формула перестает работать, так как базисные векторы больше не ортогональны и их длины не равны единице. Квадрат длины вектора $r$ вычисляется через скалярное произведение самого на себя: $(r, r) = (x e_1 + y e_2 + z e_3)^2$. После раскрытия скобок возникает квадратичная форма, содержащая все попарные скалярные произведения базисных векторов. Эти попарные скалярные произведения $(e_i, e_j)$ образуют симметричную матрицу $G$, называемую матрицей Грама или метрическим тензором. Алгебраически квадрат длины записывается через эту матрицу: $r^2 = X^T G X$, где $X$ — вектор-столбец координат. Метрический тензор полностью инкапсулирует в себе всю геометрию (углы и масштабы) косоугольного базиса.

Преобразование координат при смене базиса

Одной из главных задач аналитической геометрии является пересчет координат объекта при переходе от одного аффинного базиса к другому (например, при расчете деформаций кристалла под давлением). Пусть старый базис задан векторами $e_i$, а новый — векторами $e'_j$. Каждый новый базисный вектор можно выразить как линейную комбинацию старых. Коэффициенты этих комбинаций записываются в столбцы квадратной матрицы перехода $T$. Координаты произвольной точки в новом базисе ($X'$) связаны со старыми координатами ($X$) изящным матричным уравнением: $X = T X'$. Важно отметить контринтуитивный факт (контравариантность): координаты преобразуются с помощью матрицы, обратной к той, с помощью которой преобразуются сами базисные векторы.

Применение в физике и структурной кристаллографии

Кристаллическая решетка минералов редко бывает идеальной кубической. Например, триклинная сингония минералов описывается косоугольным базисом, в котором все три базовых вектора имеют разную длину, а все три угла между ними не равны 90 градусам. Чтобы рентгеноструктурный анализ мог определить расположение атомов, физики используют именно аффинную аналитическую геометрию. Индексы Миллера, описывающие плоскости скольжения атомов внутри кристалла, опираются на концепцию взаимного базиса (дуального базиса), который алгебраически вычисляется через обращение метрического тензора Грама. Косоугольные системы координат позволяют математическим моделям идеально совпадать с естественной анизотропной геометрией физического мира.