Октаэдр и додекаэдр
Правильный октаэдр состоит из 8 равносторонних треугольников, додекаэдр — 12 правильных пятиугольников, оба входят в многогранники Платона стереометрии. Эти фигуры обладают высшей симметрией, радиусы вписанной и описанной сфер определяются длиной ребра. Применяются в кристаллографии и архитектуре куполов.
Для октаэдра объем V = (√2/3)a³, поверхность S = 2√3 a², радиус описанной сферы R = (a√2)/2, вписанной r = (a√6)/6 источник. Додекаэдр: V = (15 + 7√5)/4 a³, S = 3√(25 + 10√5) a², R = (a/4)√(10 + 22/√5), r = (a/10)√(250 + 110√5). Углы между ребрами и гранями строго определены симметрией.
Свойства платоновых тел: все грани одинаковы, одинаковое число граней сходится в каждой вершине. Эйлерова формула V-E+F=2 выполняется: октаэдр (6 вершин, 12 ребер, 8 граней), додекаэдр (20V, 30E, 12F). Двойственность: октаэдр двойственен кубу, додекаэдр икосаэдру.
Рекомендуемые книги: Стереометрия платоновы тела, Задачи многогранники Платона, Геометрия платоновы многогранники, Рыбкин октаэдр додекаэдр, Шаталов платоновы тела, ЕГЭ многогранники.
Пример: октаэдр a=4, V=(√2/3)×64≈30.15, S=2√3×16≈55.43. Расчеты развивают понимание симметрии пространства.
