Вписанная и описанная окружности треугольника: свойства и формулы

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис (инцентр). Радиус (r = frac{S}{p}), где (S) — площадь, (p) — полупериметр. Центр описанной — пересечение серединных перпендикуляров (circumcenter). Радиус (R = frac{abc}{4S}).

Схема показывает инцентр I, circumcenter O и точки касания.

Свойства вписанной окружности

Касательные из вершины к точкам касания равны: (x = s-a), (y = s-b), (z = s-c). Формула Эйлера: (r = frac{S}{p}). Для прямоугольного: (r = frac{a+b-c}{2}).

Подробные формулы и свойства: справочник по окружностям треугольника. Полезно для задач на длины касательных.

Свойства описанной окружности

(R = frac{a}{2sin A}). Для прямоугольного: (R = frac{c}{2}). Расположение центра: внутри остроугольного, на гипотенузе прямоугольного, снаружи тупоугольного.

Формулы для ЕГЭ: окружности в задачах ЕГЭ. Таблицы с частными случаями.

Визуализация позиций O и I относительно треугольника.

Рекомендуемые книги

Прасолов «Задачи по планиметрии» — 200+ задач на окружности. Прасолов окружности.

«Планиметрия. Треугольники» с формулами радиусов. Планиметрия треугольники.

Справочник ФГОС с таблицами r и R. Справочник окружности.

Видео по окружностям

Разбор свойств на YouTube: вебинар по окружностям.

VK урок по радиусам: VK окружности.