Математическая комбинаторика: основы и элементы
Математическая комбинаторика изучает способы подсчета дискретных объектов, их комбинаций и перестановок. Этот раздел лежит в основе многих задач теории вероятностей и информатики.
Комбинаторика возникла из практических задач подсчета возможных вариантов.
Основные элементы включают перестановки, размещения и сочетания. 
Перестановки определяют количество способов упорядочить n объектов: P(n) = n!, где !
— факториал.
Размещения с учетом порядка вычисляются по формуле A(n,k) = n! / (n-k)!. Сочетания игнорируют порядок: C(n,k) = n! / (k!(n-k)!). Эти формулы применяются в задачах о выборе комитетов или кодов. Подробное объяснение принципов дает математический профиль.
Правило суммы и произведения составляют основу. Если событие A имеет m исходов, B — n, то "или" дает m+n, "и" — m×n. В задаче о выборе фруктов из яблок, груш, бананов (3+2+2=7 способов) используется сумма. Дерево решений визуализирует такие процессы.
Биномиальные коэффициенты C(n,k) образуют треугольник Паскаля, где каждая строка — коэффициенты (a+b)^n. Для углубления рекомендуем книгу Введение в комбинаторику. Теория и задачи Иванов М.А., Якубович Ю.В.. Еще полезна Комбинаторика Виленкина.
Комбинаторные задачи решают олимпиадные примеры: сколько способов расставить 5 книг — 5!=120. С повторениями формула меняется: n^k. Подробнее в статье на Proglib. Связь с вероятностями описана в учебнике по вероятностям.
Для программистов комбинаторика генерирует пароли или маршруты. Рекомендуем статью на Хабре о перестановках с повторениями. Книга Ленинградские математические кружки идеальна для школьников.
Изучение элементов комбинаторики открывает двери в графовую теорию и оптимизацию.
Треугольник Паскаля иллюстрирует связи: 
строки соответствуют степеням бинома.
