Волновое уравнение: распространение сигналов и колебаний
Волновое уравнение (u_{tt} = c^2 Delta u) описывает распространение волн в средах, объединяя ряды Фурье, краевые задачи и численные методы. Решение использует разделение переменных двадцать третьей статьи и преобразования восемнадцатой.
Разделение переменных и решение Д'Аламбера
Для одномерного случая (u_{tt} = c^2 u_{xx}) разделение (u(x,t) = X(x)T(t)) даёт (X'' + lambda X = 0), (T'' + c^2 lambda T = 0). Собственные функции (sin frac{npi x}{L}) дают решение (u(x,t) = sum [A_n cos omega_n t + B_n sin omega_n t] sin k_n x), где (omega_n = c k_n). Общее решение (u(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)) описывает произвольные волны.
Два бегущих волновых фронта (f(x-ct)) и (g(x+ct)) суммируются, создавая интерференцию 
. Визуализация показывает принцип суперпозиции.
Краевые условия и резонанс
На отрезке ([0,L]) с (u(0,t)=u(L,t)=0) возникают стоячие волны с частотами (f_n = frac{n c}{2L}). Резонанс происходит при внешнем воздействии на собственной частоте, усиливая амплитуду. Метод собственных функций двадцать третьей статьи даёт коэффициенты Фурье.
Теория волновых процессов содержится в лекциях НГУ http://www.phys.nsu.ru/podvigin/Lectures.pdf. Конспекты доступны на ресурсах МГУ http://old.math.nsc.ru/~matanalyse/basic2.pdf.
Применения: струна, звук, электромагнитные волны
Колебания струны дают звуковые волны, уравнение Максвелла описывает свет, акустические волны — давление в газах. Двумерные волны на мембране используют полярные координаты и функции Бесселя. Метод изображений решает задачи с бесконечной средой.
Стоячие волны на струне с узлами в (x = frac{kL}{n}) показывают моды колебаний 
. График иллюстрирует резонанс.
Связь с численными методами
Явные схемы типа Lax-Friedrichs дискретизируют волновое уравнение, используя методы двадцать второй статьи. Спектральные методы применяют преобразование Фурье восемнадцатой статьи.
Рекомендуемые книги по волновому уравнению
Полезны материалы по функциональному анализу https://lib.ulstu.ru/venec/disk/2020/19.pdf и рядам https://infourok.ru/konspekt-lekciy-po-discipline-matematika-na-temu-ryadi-fure-3076050.html. Источники содержат физические приложения.
