Вейвлеты: локализованный частотный анализ сигналов

Метод разлагает функции по масштабу и сдвигу, используя ортогональные многочлены двадцать первой статьи.

Вейвлет-базис и многоразрешение

Вейвлет (psi_{j,k}(t) = 2^{j/2} psi(2^j t - k)) генерирует ортонормальный базис с коэффициентами (c_{j,k} = int f(t) psi_{j,k}(t) dt). Масштабирующая функция (phi) строит многоразрешение (V_j subset V_{j+1}), где (V_0) — кусочно-линейные функции. Хаар-вейвлет (psi(t) = 1_{[0,1/2)} - 1_{[1/2,1)}) — простейший пример.

Скалограмма показывает коэффициенты (|c_{j,k}|) в масштабах (j) и позициях (k), выявляя локальные особенности сигнала . Визуализация превосходит Фурье.

Малый вейвлет и быстрый алгоритм

Пирамида Маля: (c_{j+1,k} = sqrt{2} sum h_{n-2k} c_{j,n}), (d_{j+1,k} = sqrt{2} sum g_{n-2k} c_{j,n}) с низкочастотными (h) и высокочастотными (g) фильтрами. Алгоритм (O(N)) аналогичен FFT восемнадцатой статьи. Декомпозиция останавливается на нужном масштабе.

Теория вейвлетов содержится в конспектах УлГТУ https://lib.ulstu.ru/venec/disk/2020/19.pdf. Лекции по Фурье https://vicaref.narod.ru/PDE/index12.htm.

Применения: сжатие, удаление шумов

JPEG2000 использует вейвлеты Daubechies для сжатия изображений, пороговое квантование (|c_{j,k}| < epsilon o 0) удаляет шум. Обнаружение разрывов по большим коэффициентам высокого масштаба. Адаптивные сетки МКЭ тридцатой статьи используют вейвлет-оценки ошибок.

Исходный шумный сигнал, вейвлет-коэффициенты, пороговая обработка и восстановленный сигнал . График показывает качество восстановления.

Связь с мультимасштабным анализом

Вейвлеты обобщают пирамиды Маля на непрерывные преобразования и связаны с ортогональными многочленами двадцать первой статьи. Кurvelets и shearlets улучшают для 2D-изображений.

Рекомендуемые книги по вейвлетам

Полезны материалы по рядам https://infourok.ru/konspekt-lekciy-po-discipline-matematika-na-temu-ryadi-fure-3076050.html и анализу http://www.phys.nsu.ru/podvigin/Lectures.pdf. Источники содержат приложения.