Уравнение теплопроводности: распространение тепла и веществ
Уравнение теплопроводности (u_t = k Delta u) описывает диффузию тепла, концентрации веществ и случайные блуждания. Решение использует ряды Фурье, краевые задачи и фундаментальные решения.
Разделение переменных для стержня
Для (u_t = k u_{xx}), (u(0,t)=u(L,t)=0) решение (u(x,t) = sum B_n e^{-lambda_n k t} sin frac{npi x}{L}), где (lambda_n = left(frac{npi}{L} ight)^2). Коэффициенты (B_n) определяются начальными условиями через Фурье восемнадцатой статьи. Затухание высоких мод объясняет выравнивание температуры.
Начальное распределение температуры распадается на экспоненциально затухающие моды 
. График показывает диффузию.
Фундаментальное решение и свертка
Гауссово ядро (G(x,t) = frac{1}{sqrt{4pi k t}} e^{-x^2/(4kt)}) решает задачу на бесконечной прямой. Общее решение (u(x,t) = int G(x-xi,t) u_0(xi) dxi) — свертка, вычисляемая преобразованием Фурье. Свойства: (int G dx = 1), ширина (sim sqrt{t}).
Теория диффузии содержится в курсах МГУ https://math.msu.ru/sites/default/files/posobie_po_predelam.pdf. Лекции доступны MIT https://ocw.mit.edu/courses/18-100a-real-analysis-fall-2020/video_galleries/video-lectures/.
Применения: теплоперенос, химия, финансы
Закон Фика описывает диффузию веществ, уравнение Блека-Шоулза — цены опционов. Метод конечных разностей двадцать второй статьи решает численно. Радиально-симметричные задачи используют функцию ошибок.
Распространение начального импульса с увеличением дисперсии (sigma^2 = 2kt) 
. График показывает сглаживание.
Связь с вероятностью
Фундаментальное решение — плотность нормального распределения случайного блуждания. Ожидание и дисперсия связаны с моментами через преобразование Фурье.
Рекомендуемые книги по теплопроводности
Полезны лекции НГУ http://www.phys.nsu.ru/podvigin/Lectures.pdf и пособия https://www.tstu.ru/book/elib2/pdf/2015/vasilev_2.pdf. Источники содержат приложения.
