Теория очередей: системы массового обслуживания

Теория очередей (M/M/1), (M/G/1) моделирует нагрузку систем, используя экспоненциальные распределения и преобразования Лапласа.

Анализ связан с ДУ пятнадцатой статьи и вероятностными интегралами двадцать шестой статьи.

Очередь M/M/1 и закон Литтла

Поток Пуассона (lambda), обслуживание экспоненциальное (mu), загрузка ( ho = lambda/mu < 1). Среднее число (L = frac{ ho}{1- ho}), время ожидания (W = frac{1}{mu - lambda}), закон Литтла (L = lambda W). Стационарное распределение (P_n = (1- ho) ho^n).

Баланс интенсивностей: (lambda P_n = mu P_{n+1}), стационарное распределение геометрическое Баланс состояний M/M/1 . График показывает загрузку.

Сети очередей Джексона

Открытая сеть (M/M/m) с (m) серверами: независимое распределение по узлам при Марковском потоке. Алгоритм Бабеля вычисляет потоки (lambda_j = sum_i lambda_i p_{ij}). Применения: телекоммуникации, логистика.

Теория очередей содержится в пособиях МГУ https://math.msu.ru/sites/default/files/posobie_po_predelam.pdf. Лекции НГУ http://old.math.nsc.ru/~matanalyse/basic2.pdf.

Очереди с приоритетами и G/G/1

Приоритетный контроль: среднее время (W_q = frac{lambda E[S^2]}{2(1- ho_1)(1- ho)}) по Поллачек-Хинчину. G/G/1: граница Кингмана (W leq W_{M/M/1} + frac{ ext{Var}(A) + ext{Var}(S)}{2 E[S]}).

Потоки между узлами сети с интенсивностями (lambda_{ij}) и локальными очередями Сеть очередей Джексона . Схема моделирует системы.