Тензорный анализ: обобщение векторного исчисления

Тензорный анализ развивает векторную алгебру пятой статьи и многомерный анализ тринадцатой статьи.

Ковариантные и контравариантные компоненты

Тензор второго ранга (T^i_j) трансформируется (T'^i_j = frac{partial x'^i}{partial x^k} frac{partial x^l}{partial x'^j} T^k_l). Метрический тензор (g_{ij}) опускает/поднимает индексы: (T_i = g_{ik} T^k). В криволинейных координатах (ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j).

Преобразование базиса с компонентами тензора показывает ковариантность . Визуализация связывает координаты с инвариантами.

Ковариантная производная и символы Кристоффеля

Ковариантная производная ( abla_k T^i_j = partial_k T^i_j + Gamma^i_{kl} T^l_j - Gamma^l_{kj} T^i_l), где (Gamma^i_{jk} = frac{1}{2} g^{il} (partial_j g_{kl} + partial_k g_{jl} - partial_l g_{jk})). В евклидовом пространстве (Gamma = 0), в сферических — ненулевые. Кривизна (R^i_{jkl}) измеряет отклонение от плоскости.

Тензорный анализ содержится в пособиях МГУ https://www.chem.msu.ru/rus/teaching/chirskii/Vektory.Matritsy.Opredeliteli.pdf. Лекции по векторам https://math.csu.ru/new_files/students/lectures/analit_geom/matveev_posobie_po_vektr_algebra.pdf.

Приложения: ОТО и механика сплошных сред

Тензор Риччи (R_{ij}) и скалярная кривизна в уравнениях Эйнштейна (R_{ij} - frac{1}{2} R g_{ij} = frac{8pi G}{c^4} T_{ij}). Напряжения (sigma_{ij}), деформации (varepsilon_{ij}) в теории упругости. Инварианты второго порядка для устойчивости.

Ковариантная производная вдоль геодезической сохраняет параллелизм . График показывает кривизну.

Связь с дифференциальной геометрией

Тензор Римана определяет геометрию многообразия, связывая с вариационным исчислением двадцать четвёртой статьи. Метод главных кривизн диагонализирует метрику.

Рекомендуемые книги по тензорам

Полезны пособия по векторной алгебре http://old.math.nsc.ru/LBRT/a1/sotr/lections_1.pdf и матрицам https://joker150491.narod.ru/Kryakvin_V.D._Lineynaya_algebra._Posobie_k_resheniyu_zadach.pdf. Источники содержат приложения.