Стохастический анализ: марковские процессы и броуновское движение

Теория развивает вероятностные аспекты двадцать шестой статьи и ДУ пятнадцатой статьи.

Марковские цепи и непрерывное время

Марковская цепь: (P(X_{n+1}=j | X_n=i) = p_{ij}), стационарное распределение (pi P = pi). Непрерывное время: матрица интенсивностей (Q), (P'(t) = Q P(t)), решение (P(t) = e^{Qt}) через экспоненту матрицы двадцатой статьи. Эргодичность при положительных диагональных элементах.

Граф переходов с вероятностями (p_{ij}) и стационарным распределением (pi) . Диаграмма показывает эргодичность.

Броуновское движение и стохастические интегралы

Броуновское движение (W(t)): непрерывные траектории, независимые приращения (W(t)-W(s) sim N(0,t-s)). Интеграл Ито (int H dW) определён для адаптированных (H), правило Ито (d(XY) = X dY + Y dX + dX dY). Лемма Ито для квадратичных вариаций.

Стохастический анализ содержится в лекциях НГУ http://www.phys.nsu.ru/podvigin/Lectures.pdf. Конспекты МГУ https://math.msu.ru/sites/default/files/posobie_po_predelam.pdf.

Уравнения стохастической дифференциации

SDE (dX = mu dt + sigma dW), решение (X(t) = X_0 + int mu ds + int sigma dW). Лемма Гirsanova меняет меру, уравнение Фоккера-Планка (partial_t p = -partial_x (mu p) + frac{1}{2} partial_{xx} (sigma^2 p)) описывает плотность. Применения: финансы, химия.

Траектории броуновского движения с дисперсией (sigma^2 t) . График показывает диффузию.

Связь с очередями и финансами

M/M/1 тридцать пятой статьи — марковский процесс, модель Блэка-Шоулза (dS = mu S dt + sigma S dW).

Рекомендуемые книги по стохастическому анализу

Полезны лекции http://old.math.nsc.ru/~matanalyse/basic2.pdf и ряды https://lib.ulstu.ru/venec/disk/2020/19.pdf. Источники содержат приложения.