Преобразование Фурье: разложение сигналов по частотам
Преобразование Фурье переводит функции из временной области в частотную, разлагая сложные сигналы на синусоиды различных частот. Метод обобщает ряды Фурье шестой статьи на непериодические функции и связан с интегралами третьей статьи.
Интегральное преобразование Фурье
Преобразование (hat{f}(omega) = int_{-infty}^infty f(t) e^{-iomega t} dt) и обратное (f(t) = frac{1}{2pi} int_{-infty}^infty hat{f}(omega) e^{iomega t} domega) представляют функцию спектром. Комплексная экспонента (e^{iomega t} = cos omega t + i sin omega t) использует тригонометрию девятой статьи. Теорема сходимости требует интегрируемости функции.
График исходного сигнала и его спектральная плотность показывает концентрацию энергии на характерных частотах 
. Визуализация демонстрирует частотный анализ.
Свойства преобразования Фурье
Линейность, сдвиг (mathcal{F}{f(t-a)} = e^{-iomega a} hat{f}(omega)), масштабирование и дифференцирование (mathcal{F}{f'(t)} = iomega hat{f}(omega)) упрощают вычисления. Свертка (f * g) переходит в произведение спектров, что лежит в основе фильтрации сигналов. Обратное преобразование дифференцирования даёт интегрирование.
Таблицы свойств содержатся в конспектах по рядам https://infourok.ru/konspekt-lekciy-po-discipline-matematika-na-temu-ryadi-fure-3076050.html. Лекции по Фурье доступны онлайн https://vicaref.narod.ru/PDE/index12.htm.
Применение в обработке сигналов
Быстрое преобразование Фурье (FFT) анализирует аудио, изображение и вибрации, извлекая доминирующие частоты. Фильтры нижних/верхних частот используют умножение спектров на прямоугольную функцию. В физике преобразование решает уравнения волны и теплопроводности.
Исходный шумный сигнал, его спектр, отфильтрованный спектр и восстановленный сигнал показывают принцип цифровой обработки 
. Диаграмма иллюстрирует приложения.
Связь с дифференциальными уравнениями
Преобразование переводит ДУ в алгебраические уравнения для спектров, решение которых обратно преобразуется. Метод решает краевые задачи с рядами Фурье шестой статьи и ДУ пятнадцатой.
Рекомендуемые книги по преобразованию Фурье
Полезны материалы по рядам https://lib.ulstu.ru/venec/disk/2020/19.pdf и функциональному анализу http://www.phys.nsu.ru/podvigin/Lectures.pdf. Источники содержат приложения.
