Множественные интегралы: площади, объёмы и теоремы Грина-Стокса
Множественные интегралы обобщают определённый интеграл на области двумерной и трёхмерной плоскости, вычисляя объёмы, массы и моменты. Теоремы Грина, Стокса и Остроградского связывают поверхностные и объёмные интегралы с криволинейными.
Двойной интеграл над плоской областью
Двойной интеграл (iint_D f(x,y) , dx dy) вычисляется итерационно: сначала по (x), затем по (y), или через полярные координаты при круговой симметрии. Площадь области (D) — частный случай при (f(x,y) = 1), а массовый центр вычисляется через моменты первого порядка. Смена переменных (x = x(u,v)), (y = y(u,v)) использует якобиан (J = frac{partial(x,y)}{partial(u,v)}).
Разбиение области (D) на маленькие прямоугольники с высотой (f(x_i,y_j)) иллюстрирует предел сумм Римана в двумерном случае 
. Аналогично одномерному интегралу из третьей статьи.
Теорема Грина и криволинейные интегралы
Теорема Грина (oint_C (P dx + Q dy) = iint_D left( frac{partial Q}{partial x} - frac{partial P}{partial y} ight) dx dy) связывает контурный интеграл по замкнутому контуру с двойным по области. Для (P = -y), (Q = x) теорема даёт площадь (frac{1}{2} oint_C (-y dx + x dy)), что упрощает вычисления. Ротор ( abla imes mathbf{F}) в двумерном случае соответствует выражению под интегралом.
Подробные доказательства теорем Грина содержатся в курсах векторного анализа https://math.csu.ru/new_files/students/lectures/analit_geom/matveev_posobie_po_vektr_algebra.pdf. Университетские лекции доступны на MIT https://ocw.mit.edu/courses/18-100a-real-analysis-fall-2020/video_galleries/video-lectures/.
Приложения в физике
Множественные интегралы вычисляют моменты инерции, работу силовых полей и поток через поверхность, а теоремы Грина-Остроградского лежат в основе законов сохранения. В гидродинамике теорема связывает циркуляцию скорости с вихрем поля. Полярные и сферические координаты упрощают симметричные интегралы.
Замкнутый контур (C), область (D), векторное поле и ротор демонстрируют связь поверхностного и криволинейного интегралов 
. Визуализация связывает векторный анализ с интегралами.
Связь с предыдущими темами
Якобиан смены переменных обобщает цепное правило дифференцирования из второй статьи, а двойные интегралы используют навыки интегрирования из третьей. Градиент, дивергенция и ротор продолжают векторную алгебру пятой статьи и многомерный анализ тринадцатой.
Рекомендуемые книги по множественным интегралам
Полезны материалы по векторному анализу https://www.chem.msu.ru/rus/teaching/chirskii/Vektory.Matritsy.Opredeliteli.pdf и лекции НГУ http://www.phys.nsu.ru/podvigin/Lectures.pdf. Эти источники содержат приложения в физике.
