Метод конечных разностей: дискретизация дифференциальных уравнений

Метод использует производные второй статьи и матрицы пятой статьи для дискретных систем.

Центральные и односторонние разности

Вторая производная аппроксимируется (u'(x_i) approx frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{h^2}), первая (u'(x_i) approx frac{u_{i+1} - u_{i-1}}{2h}) с ошибкой (O(h^2)). Односторонние разности используются у границ: (u'(x_0) approx frac{-3u_0 + 4u_1 - u_2}{2h}). Точность оценивается разложением Тейлора семнадцатой статьи.

Сетка точек (x_i = x_0 + i h) с секущими показывает геометрический смысл разностных приближений . Визуализация связывает дискретизацию с анализом.

Дискретизация уравнений Лапласа и теплопроводности

Уравнение Лапласа (Delta u = 0) становится (frac{u_{i+1,j} + u_{i-1,j} + u_{i,j+1} + u_{i,j-1} - 4u_{i,j}}{h^2} = 0). Теплопроводность (u_t = k u_{xx}) — (frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{ au} = k frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{h^2}). Система решается методами пятой статьи.

Алгоритмы разностных схем содержатся в пособиях МГУ https://math.msu.ru/sites/default/files/posobie_po_predelam.pdf. Подробные оценки в НГУ http://old.math.nsc.ru/~matanalyse/basic2.pdf.

Устойчивость и сходимость схем

Условие Куранта (frac{k au}{h^2} leq frac{1}{2}) обеспечивает устойчивость явной схемы теплопроводности. Матрица усиления собственных значений определяет устойчивость, используя анализ двадцатой статьи. Неявные схемы безусловно устойчивы.

Зоны устойчивости в параметрах ( au, h) показывают ограничения явных схем . Диаграмма оценивает параметры.

Связь с методами конечных элементов

Метод конечных разностей — частный случай метода конечных элементов двадцать четвёртой статьи на прямоугольных сетках. Спектральная точность достигается при (p)-адаптации.

Рекомендуемые книги по конечным разностям

Полезны пособия по методам https://mathprofi.com/knigi_i_kursy/files/predely_demo.pdf и анализу https://www.tstu.ru/book/elib2/pdf/2015/vasilev_2.pdf. Источники содержат алгоритмы.