Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Уравнения второго порядка (y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)) описывают гармонические колебания, электрические цепи и механические системы с инерцией. Их решение опирается на производные второй статьи, характеристическое уравнение из алгебры первой и методы интегрирования третьей.
Характеристическое уравнение однородного случая
Для постоянных коэффициентов (y'' + ay' + by = 0) характеристическое уравнение (r^2 + ar + b = 0) даёт корни, определяющие тип решения: два действительных ((y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x})), комплексные ((y = e^{alpha x}(C_1 cos eta x + C_2 sin eta x))) или кратное ((y = (C_1 + C_2 x)e^{rx})). Корни связаны с дискриминантом (D = a^2 - 4b), аналогично квадратным уравнениям первой статьи. Комплексные корни дают колебательные решения, описываемые тригонометрией девятой статьи.
Фазовый портрет показывает спирали, узлы и центры в зависимости от корней характеристического уравнения, иллюстрируя качественное поведение решений 
. Графики связывают алгебру корней с динамикой.
Метод вариации параметров
Для неоднородного уравнения (y'' + ay' + by = f(x)) частное решение ищется как (y_p = u_1(x) y_1 + u_2(x) y_2), где (u_1'), (u_2') решаются из системы с Вронским определителем (W(y_1,y_2) = y_1 y_2' - y_2 y_1'). Метод использует линейную алгебру пятой статьи для решения системы и интегрирование третьей статьи. При (f(x)) — полином, экспонента или синус применяется метод неопределённых коэффициентов.
Подробные алгоритмы решения содержатся в курсах анализа https://tstu.ru/book/elib2/pdf/2015/vasilev_2.pdf. Университетские конспекты доступны на НГУ http://old.math.nsc.ru/~matanalyse/basic2.pdf.
Приложения в колебаниях и цепях
Гармонический осциллятор (y'' + omega^2 y = 0) имеет решение (y = A cos(omega t + phi)), а вынужденные колебания (y'' + 2delta y' + omega^2 y = F cos Omega t) демонстрируют резонанс при (Omega approx omega). В электрических цепях (L I'' + R I' + frac{1}{C} I = E(t)) аналогичны механическим уравнениям. Решения используют тригонометрию и экспоненты восьмой и девятой статей.
Амплитудно-частотная характеристика показывает пик резонанса и затухание колебаний 
. График иллюстрирует практические приложения.
Связь с системами и рядами
Системы ДУ первого порядка решают матрицами пятой статьи, а разложения решений в ряды используют степенные ряды шестой статьи. Качественный анализ опирается на численные методы одиннадцатой статьи.
Рекомендуемые книги по ДУ второго порядка
Полезны лекции функционального анализа http://www.phys.nsu.ru/podvigin/Lectures.pdf и пособия по пределам https://mathprofi.com/knigi_i_kursy/files/predely_demo.pdf. Эти источники содержат приложения в физике.
