Интерполяция Лагранжа: построение промежуточных значений
Интерполяция Лагранжа строит многочлен, точно проходящий через заданные точки ((x_i, y_i)), что необходимо для численного анализа и аппроксимации табличных данных. Метод использует алгебру многочленов седьмой статьи и численные приближения одиннадцатой статьи.
Формула Лагранжевых базисных многочленов
Интерполирующий многочлен (P_n(x) = sum_{i=0}^n y_i l_i(x)) с базисными многочленами (l_i(x) = prod_{j eq i} frac{x - x_j}{x_i - x_j}) точно воспроизводит значения (y_i) в точках (x_i). Степень многочлена равна (n) при (n+1) точках, что гарантирует единственность по теореме Вейерштрасса. Формула использует свойства многочленов седьмой статьи для факторизации знаменателей.
График табличных точек и проходящего через них многочлена Лагранжа показывает точное совпадение в узлах интерполяции 
. Визуализация демонстрирует локальную точность.
Оценка погрешности интерполяции
Остаточный член (R_n(x) = f(x) - P_n(x) = frac{f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!} omega(x)), где (omega(x) = prod_{i=0}^n (x - x_i)), оценивает ошибку через высшую производную. Узлы Чебышёва (x_k = cos frac{(2k+1)pi}{2(n+1)}) минимизируют максимальную ошибку по принципу равнораспределения. Оценка связана с рядами Тейлора семнадцатой статьи.
Алгоритмы интерполяции содержатся в пособиях по численному анализу https://mathprofi.com/knigi_i_kursy/files/predely_demo.pdf. Подробные оценки ошибок доступны в МГУ https://math.msu.ru/sites/default/files/posobie_po_predelam.pdf.
Применение в численном интегрировании
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса используют интерполяцию Лагранжа для аппроксимации (int_a^b f(x) dx approx sum w_i f(x_i)), где веса (w_i) — интегралы базисных многочленов. Формула трапеций ((n=1)) и Симпсона ((n=2)) — частные случаи. Точность повышается при узлах Чебышёва и Гаусса.
Разбиение интервала на подынтервалы с весами показывает связь интерполяции с численными интегралами 
. Диаграмма связывает третий и девятнадцатый разделы.
Связь с сплайнами и рядами
Сплайны кусочно-полиномиальной интерполяции устраняют осцилляции Лагранжа при больших (n), а ряды Тейлора семнадцатой статьи дают локальную интерполяцию. Численные методы одиннадцатой статьи используют интерполяцию для трассировки.
Рекомендуемые книги по интерполяции
Полезны пособия по методам http://old.math.nsc.ru/~matanalyse/basic2.pdf и алгебре http://old.math.nsc.ru/LBRT/a1/sotr/lections_1.pdf. Источники содержат алгоритмы.
