Интегральные уравнения: Фредгольм и Вольтерра

Решение использует операторы функционального анализа тридцать третьей статьи и ряды шестой статьи.

Уравнения Фредгольма второго рода

Уравнение (u(x) = f(x) + lambda int_a^b K(x,t) u(t) dt) решается рядом Неймана (u = sum (-1)^n lambda^n K^n f) при (|lambda| < 1/|K|). Собственные значения (lambda_n) определяют сходимость, аналогично двадцатой статье. Ядро разлагается (K(x,t) = sum phi_n(x) psi_n(t)).

Последовательные аппроксимации (u_0 = f), (u_1 = f + lambda K f), (u_2 = f + lambda K f + lambda^2 K^2 f) сходятся к решению . График показывает сходимость.

Уравнения Вольтерры и свертки

Вольтерра (u(t) = f(t) + int_0^t K(t,s) u(s) ds) решается методом ступеней или преобразованием Лапласа. При свертке (K(t-s)) решение (U(p) = frac{F(p)}{1 - K(p)}) в p-пространстве. Применения: реология, наследственные механики.

Теория содержится в лекциях НГУ http://www.phys.nsu.ru/podvigin/Lectures.pdf. Конспекты МГУ https://math.msu.ru/sites/default/files/posobie_po_predelam.pdf.

Применения в физике

Ядро Грина для ДУ: (u(x) = int G(x,xi) f(xi) dxi). Интегральные уравнения Гильберта для контактных задач. Численные методы: Ньстрём, Галёркин с ортогональными многочленами двадцать первой статьи.

Ядро Грина для (u'' = f), (u(0)=u(1)=0) показывает кусочно-линейную функцию . График связывает ДУ с интегралами.

Связь с функциональным анализом

Интегральные операторы компактны в (C[a,b]), спектр дискретен. Метод резольвенты обобщает ряд Неймана.

Рекомендуемые книги по интегральным уравнениям

Полезны лекции http://old.math.nsc.ru/~matanalyse/basic2.pdf и ряды https://lib.ulstu.ru/venec/disk/2020/19.pdf. Источники содержат приложения.