Функциональный анализ: бесконечномерные пространства и операторы

Теория развивает ряды шестой и ортогональные многочлены двадцать первой статьи.

Гильбертовы пространства и ортонормированные базисы

Гильбертово пространство (L^2[a,b]) с скалярным произведением (langle f,g angle = int f ar{g} dx) полное. Ортонормированный базис ({phi_n}): (f = sum langle f,phi_n angle phi_n), Parseval: (|f|^2 = sum |langle f,phi_n angle|^2). Фурье восемнадцатой и вейвлеты тридцать первой статьи — примеры.

Разложение функции по базису с коэффициентами Фурье показывает полноту системы . Визуализация демонстрирует Parseval.

Компактные и самосопряжённые операторы

Компактный оператор (K) отображает в ограниченное множество, спектр дискретен с (|lambda_n| o 0). Самосопряжённый (A^* = A) имеет вещественные собственные значения и ортогональные собственные векторы. Интегральные операторы ( (Kf)(x) = int K(x,y) f(y) dy ).

Теория операторов содержится в лекциях НГУ http://www.phys.nsu.ru/podvigin/Lectures.pdf. Конспекты МГУ https://math.msu.ru/sites/default/files/posobie_po_predelam.pdf.

Спектральная теорема и приложения

Спектральная теорема: (A = int lambda dE(lambda)) для самосопряжённых операторов. Метод собственных функций двадцать третьей статьи — частный случай. Применения: квантовые операторы, решение интегральных уравнений.

Собственные значения компактного оператора скапливаются у нуля с мультипликативностью . График показывает асимптотику.

Связь с дифференциальными операторами

Лапласиан (-Delta) самосопряжённый с дискретным спектром на ограниченной области. Собственные функции — гармонические полиномы.

Рекомендуемые книги по функциональному анализу

Полезны лекции НГУ http://old.math.nsc.ru/~matanalyse/basic2.pdf и ряды https://lib.ulstu.ru/venec/disk/2020/19.pdf. Источники содержат спектральную теорию.