Дифференциальные уравнения первого порядка: моделирование процессов
Дифференциальные уравнения описывают скорости изменения, объединяя производную, интеграл и алгебру в модели роста, затухания и движения. Уравнения первого порядка решаются разделением переменных, интегрирующим множителем и методом Лагранжа.
Линейные уравнения первого порядка
Уравнение (y' + P(x)y = Q(x)) решается интегрирующим множителем (mu(x) = e^{int P(x) dx}), превращающим левую часть в производную произведения. Общее решение (y = frac{1}{mu(x)} left( C + int mu(x) Q(x) dx ight)) использует навыки интегрирования из третьей статьи. При (Q(x) = 0) получаются экспоненциальные решения, связанные с восьмой статьёй.
Графики общего и частных решений линейного уравнения первого порядка показывают семейство экспоненциальных кривых с различными постоянными (C) 
. Визуализация связывает анализ с приложениями.
Разделение переменных и точные уравнения
Уравнения вида (frac{dy}{dx} = f(x)g(y)) интегрируются разделением: (int frac{dy}{g(y)} = int f(x) dx). Точные уравнения (M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0) решаются при выполнении условия (frac{partial M}{partial y} = frac{partial N}{partial x}), находя функцию (F(x,y) = C). Метод Лагранжа применим к однородным уравнениям.
Подробные алгоритмы решения содержатся в курсах анализа https://www.tstu.ru/book/elib2/pdf/2015/vasilev_2.pdf. Университетские конспекты доступны на МГУ https://math.msu.ru/sites/default/files/posobie_po_predelam.pdf.
Приложения: рост и затухание
Модель непрерывных процентов (P' = rP) даёт экспоненциальный рост (P = P_0 e^{rt}), а закон охлаждения Ньютона (T' = -k(T - T_0)) описывает затухание. Смешанные задачи с начальными условиями определяют единственное решение. Эти модели используют экспоненты и логарифмы из восьмой статьи.
Направленное поле и интегральные кривые автономного уравнения (frac{dy}{dx} = f(y)) показывают качественное поведение решений 
. Графики иллюстрируют устойчивость.
Связь с высшими темами
Решение ДУ использует интегралы третьей статьи, дифференциалы десятой и численные методы одиннадцатой. Линейные системы ДУ решают матрицами пятой статьи, а качественный анализ опирается на ряды шестой.
Рекомендуемые книги по ДУ первого порядка
Полезны пособия по пределам https://mathprofi.com/knigi_i_kursy/files/predely_demo.pdf и анализу НГУ http://old.math.nsc.ru/~matanalyse/basic2.pdf. Эти источники содержат типовые задачи.
