Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Численные методы позволяют решать дифференциальные уравнения, когда аналитическое решение недоступно, используя дискретизацию и итерации. Методы опираются на производные второй статьи, ряды Тейлора семнадцатой и погрешности двенадцатой статьи.
Метод Эйлера и его модификации
Метод Эйлера (y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)) использует линейное приближение (y' approx frac{y_{n+1}-y_n}{h}), аналогично дифференциалу десятой статьи. Модифицированный Эйлер (трапеций) (y_{n+1} = y_n + frac{h}{2} [f(t_n,y_n) + f(t_{n+1},y_{n+1}^*)]) повышает точность до второго порядка. Локальная погрешность оценивается остатком Тейлора семнадцатой статьи.
График точного решения и ступенчатой траектории метода Эйлера показывает накопление погрешности при большом шаге (h) 
. Визуализация демонстрирует устойчивость.
Метод Рунге-Кутты четвертого порядка
Рунге-Кутта (k_1 = f(t_n,y_n)), (k_2 = f(t_n + h/2, y_n + h k_1/2)), (k_3 = f(t_n + h/2, y_n + h k_2/2)), (k_4 = f(t_n + h, y_n + h k_3)) даёт точность пятого порядка с четырьмя вычислениями функции. Метод совпадает с разложением Тейлора до пятой производной, используя алгебру многочленов седьмой статьи. Адаптивный шаг контролирует локальную ошибку.
Алгоритмы Рунге-Кутта содержатся в пособиях по численному анализу https://mathprofi.com/knigi_i_kursy/files/predely_demo.pdf. Подробные оценки доступны в НГУ http://old.math.nsc.ru/~matanalyse/basic2.pdf.
Стабильность и жесткие уравнения
Устойчивость метода зависит от собственных значений матрицы Якоби системы ДУ, связанных с двадцатой статьей. Жесткие уравнения с разными временными масштабами требуют неявных методов (БДФ), решаемых линейными системами пятой статьи. Адаптивные методы Dormand-Prince балансируют точность и скорость.
Траектории Эйлера, Рунге-Кутта и точного решения показывают превосходство высших порядков 
. График иллюстрирует сходимость.
Связь с системами и приложениями
Системы ДУ решаются блочно, используя собственные значения двадцатой статьи для выбора метода. Применения включают механику, химию реакций и небесную механику.
Рекомендуемые книги по численному решению ДУ
Полезны пособия по методам https://math.msu.ru/sites/default/files/posobie_po_predelam.pdf и анализу https://www.tstu.ru/book/elib2/pdf/2015/vasilev_2.pdf. Источники содержат алгоритмы.
