Численные методы для стохастических дифференциальных уравнений

Численные методы для SDE (dX = mu dt + sigma dW) обобщают ОДУ двадцать второй статьи на случайные приращения.

Методы обеспечивают сильную и слабую сходимость.

Схема Эйлера-Мараuyama

Дискретизация (X_{n+1} = X_n + mu Delta t + sigma Delta W_n), где (Delta W_n sim N(0,Delta t)). Слабая сходимость (O(Delta t)), сильная (O(sqrt{Delta t})). Модификация с Милстайном улучшает сильную сходимость.

Множество реализаций схемы Эйлера-Мараuyama с расходимостью от точного решения Стохастические траектории Эйлера-Мараuyama . График показывает дисперсию.

Схемы с высокой порядностью

Рунге-Кутта для SDE: многостадийные коэффициенты для (mu, sigma). Сильная сходимость (O(Delta t^p)), слабая (O(Delta t^{p+1})). Адаптивный шаг по оценке локальной ошибки.

Алгоритмы содержатся в пособиях МГУ https://math.msu.ru/sites/default/files/posobie_po_predelam.pdf. Оценки НГУ http://old.math.nsc.ru/~matanalyse/basic2.pdf.

Монте-Карло и квази-Монте-Карло

Ожидание (E[X(T)] approx frac{1}{N} sum X^{(i)}(T)), дисперсия (frac{ ext{Var}(X)}{N}). Квази-Монте-Карло с низкорасходными последовательностями снижает ошибку до (O(1/N)). Важно для ценообразования опционов.

Сходимость среднего по реализациям к истинному ожиданию Монте-Карло оценка ожидания . График показывает статистику.