Краевые задачи для дифференциальных уравнений

Задача Штурма-Лиувилля

Самосопряжённая задача (-(p y')' + q y = lambda w y) на ([a,b]) с краевыми условиями имеет ортогональную систему собственных функций. Спектр дискретен и положителен, а собственные значения растут: (lambda_n o infty). Решение неоднородной задачи — ряд (sum c_n Y_n(x)), где (c_n) через скалярное произведение.

Графики первых собственных функций задачи колебаний струны показывают увеличение числа узлов . Визуализация демонстрирует ортогональность.

Разложение в ряд Соболева

Решение (y'' + lambda y = f(x)), (y(0)=y(pi)=0) — (sum_{n=1}^infty c_n sin nx), где (lambda_n = n^2), (c_n = frac{2}{pi} int_0^pi f sin nx dx). Коэффициенты вычисляются интегралами третьей статьи, используя Фурье восемнадцатой статьи. Метод применим к уравнениям теплопроводности.

Теория Соболева содержится в лекциях НГУ http://www.phys.nsu.ru/podvigin/Lectures.pdf. Конспекты доступны на УлГТУ https://lib.ulstu.ru/venec/disk/2020/19.pdf.

Применение в физике

Колебания струны (u_{tt} = c^2 u_{xx}) решаются разделением переменных: (u(x,t) = sum [A_n cos omega_n t + B_n sin omega_n t] sin frac{npi x}{L}). Теплопроводность (u_t = k u_{xx}) даёт затухающие моды. Собственные частоты определяются граничными условиями.

Анимация суммы первых мод колебаний струны с фиксированными концами . График иллюстрирует гармонический анализ.

Связь с численными методами

Конечные разности дискретизируют краевые задачи, приводя к матрицам пятой статьи с собственными значениями двадцатой. Спектральные методы используют ортогональные многочлены двадцать первой статьи.

Рекомендуемые книги по краевым задачам

Полезны лекции по функциональному анализу http://old.math.nsc.ru/~matanalyse/basic2.pdf и рядам https://infourok.ru/konspekt-lekciy-po-discipline-matematika-na-temu-ryadi-fure-3076050.html. Источники содержат физические приложения.