Оптимальное управление портфелем: формула Мертона

Модель предполагает, что инвестор обладает функцией полезности типа CRRA (Constant Relative Risk Aversion) и распределяет капитал между безрисковым активом и рисковым активом, динамика которого описывается геометрическим броуновским движением. Задача инвестора — максимизировать $E[int_0^T u(c_t)e^{- ho t}dt + U(W_T)e^{- ho T}]$, где $W_t$ — богатство, $c_t$ — потребление. Решение, полученное Робертом Мертоном, показывает, что оптимальная доля богатства, инвестируемая в рисковый актив, постоянна: $pi^* = frac{mu - r}{sigma^2 (1 - gamma)}$, где $mu$ — ожидаемая доходность рискового актива, $r$ — безрисковая ставка, $sigma$ — волатильность, а $gamma$ — коэффициент относительной неприязни к риску.

Математически результат Мертона является следствием решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана. Постоянство оптимальной доли $pi^*$ означает, что инвестор должен постоянно ребалансировать портфель, восстанавливая целевые пропорции активов при изменении их рыночных цен. В условиях рынка без транзакционных издержек это идеальная стратегия. Наличие издержек приводит к необходимости создания зоны бездействия, где портфель не ребалансируется, пока отклонения долей активов от целевых уровней не выйдут за установленные границы.

Практическое значение формулы Мертона огромно для долгосрочного планирования пенсионных накоплений. Она учит, что выбор доли акций должен быть функцией от уровня индивидуальной неприязни к риску, а не от горизонта инвестирования. Тем не менее, реализация стратегии требует точных оценок ожидаемой доходности $mu$ и волатильности $sigma$, которые на практике являются нестационарными и шумными величинами, что вынуждает управляющих применять методы фильтрации Калмана или байесовского обучения.

Современные расширения модели Мертона включают учет факторов стохастической волатильности и возможности хеджирования рисков (например, инфляционного или процентного). Моделирование поведения институциональных инвесторов требует учета ограничений по коротким продажам и левериджу, что превращает простую формулу в сложную задачу выпуклого стохастического программирования, решаемую численными методами на современных вычислительных кластерах.

Список литературы:
1. Merton R.C. Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model. — Journal of Economic Theory, 1971.
2. Мертон Р.К. Непрерывные финансы. — М.: Весь Мир, 2006.
3. Драпкин И.А. и др. Финансовая математика. — М.: Юрайт, 2020.
Эксперты: Роберт Мертон, Пол Самуэльсон, Игорь Драпкин.