Таблица значений функции

Взаимосвязь между распределениями вероятностей

- распределение

В таблице приведены значения (в процентах) квантилей в зависимости от числа степеней свободы m и вероятности a.

Пусть суммарные выплаты имеют сложное распределение Пуассона, т.е. ~. Оценим число выплат, которое необходимо пронаблюдать. Обозначим через l среднее число выплат за каждый год, p₁ и p₂- среднее значение и второй момент величины индивидуальных выплат. Тогда среднее значение и дисперсия совокупных выплат за год задаются как lp₁ и lp₂. Предположим, что по рассматриваемой страховке имеются данные за n предыдущих лет, что дает агрегированную сумму выплат S. Нетто-взнос на предстоящий год есть lp₁, а оценка, основанная лишь на предыдущих данных, есть S/n. Рассматривая S как случайную величину и используя нормальное приближение, имеем

~

Эти данные полностью (k,p) - достоверны, если

(п. 4.1.)

Получили формулу (4.6)

Пусть m₀ - математическое ожидание числа выплат для полной (k,p) - достоверности. Заменяя в (п. 4.1.) ln на m₀, а неравенство на равенство получаем

, (п. 4.2.)

где y_p - точка на единичном нормальном распределении, такая, что площадь между - y_p и y_p равна p.

(п. 4.3.)

Истинный нетто-взнос равен lp₁, а разность между ним и выражением (п. 4.3) равна:

(п. 4.4.)

Рассмотрим первый член выражения (п. 4.4.) и выберем Z таким образом , что

для тех же k и p, что и при определении m₀. Поскольку

~

.

Записывая вместо ln наблюдаемое число выплат M, а затем используя формулу (п. 4.2.) получаем

что и требовалось, поскольку молчаливо предполагалось, число M £ m₀.

Замечание. Поскольку обоснование выбора Z основывается лишь на одном из членов выражения (п. 4.4.), а член, включающий m игнорируется, поэтому Z определяется безотносительно к дополнительным данным.

Оценка неизвестного параметра l в модели Пуассон-Гамма.

Предположим, что есть n наблюдений x₁,x₂,...,x_nвеличины X, обозначим эти данные x. Байесовская оценка l по отклонению к функции квадратичных потерь есть

Апостериорная плотность вероятности l при заданном x пропорциональна

(п. 5.1.)

Здесь проигнорированы некоторые члены, не содержащие l.

,

где .

Можно показать, что апостериорное распределение lесть гамма-распределение с параметрами и . Следовательно,

,

,

где .

Оценка неизвестных параметров в модели нормально-нормальное.

Предположим, что имеется n наблюдений X, т.е. x₁,x₂,...,x_n, обозначим эти данные через x. Задача состоит в оценке E(x|q ) при заданном x. Используем байесовскую оценку по отношению к квадратичным отклонениям, то есть , что сводится к E[q |x], т.е. апостериорному среднему q при заданных x.

Апостериорная плотность вероятности q при заданном x пропорциональна выражению:

,

(п. 6.1.)

Из выражения (п.6.3) видно, что апостериорная распределения q при данном x есть:

~,

где .

,

,

где .

Вывод формулы достоверного взноса для эмпирической байесовской модели.

Найдем “наилучшую аппроксимацию” функции среди функций, линейных по наблюдаемым данным, т.е. среди функций

В силу симметричности модели по X_j имеем

, (п. 7.1.)

где a и b - константы, которые следует определить. Для вычисления констант используется МНК, т.е. aи b находятся из минимизации выражения

(п. 7.2.)

Форма, в которой будет решаться задача, такова: найти константы aи b, минимизирующие выражение:

(п.7.3)

Можно показать, что формулировки (п. 7.2.) и (п. 7.3.) эквивалентны. Сделать это можно следующим образом:

,

,

.

Заметим, теперь, что E[AB] равно нулю, поскольку

.

Используя тот факт, что все члены в B - функция X, и

.

(п. 7.4.)

Член A не содержит a или b, поэтому из формулы (п. 7.4.) ясно, что если aили b являются решением задачи (п. 7.3.), то они являются также решениями (п. 7.2.) и наоборот.

Решение можно найти, дифференцируя математическое ожидание выражения (п. 7.3.) по aи b и приравнивая обе частные производные к нулю

,

,

Если подставить эти формулы в выражение (п. 7.1.), записать Z вместо b и отметить, что E[m(q )]есть нетто-взнос, который следует назначить при отсутствии предыдущих данных.

Вывод формулы достоверного взноса в модели Бюльмана - Штрауба.

Достоверный взнос определяется как линейная функция наблюдений значений X, которая дает наилучшее приближение . Мы имеем дело с несимметричной моделью, так что рассматриваемые линейные функции наблюдаемых величин имеют вид:

(п. 8.1.)

Задача состоит в том, чтобы найти константы a₁,a₂,...,a_n, которые минимизируют

(п. 8.2)

При помощи доводов, в точности повторяющих доказательство эквивалентности предположений (п. 7.2) и (п. 7.3), можно показать, что задача эквивалентна следующей: найти константы a₁,a₂,...,a_n, которые минимизируют

(п.8.3)

Решение этой задачи находится дифференцированием математического ожидания (п. 8.3) по a₁,...,a_n и приравниванием каждой из частных производных к нулю. Это дает следующие уравнения

(п. 8.4)

(п. 8.5)

Отмечая, что

(п. 8.6)

(п. 8.7)

Подставляя (п. 8.6) в (п. 8.7) получаем

(п. 8.8)

Суммируя выражение (п. 8.8) для k=1,2,...,n, видим, что

(п. 8.9)

Используя формулу (п. 8.9) в выражениях (п. 8.6), (п. 8.8), получаем

(п.8.10)

(п. 8.11)

Подставляя выражения (п. 8.10) и (п. 8.11) в формулу (п. 8.1) получаем оценку нетто-взноса на единицу объема страхования:

,

,

(п. 8.12)

Замечание. Если все P_j равны, то достоверный взнос по модели 2 тот же, что и достоверный взнос по модели 1, если только заменить на .