1. Вероятность разорения

Рассмотрим состояние страхового портфеля не только в конце более длинных периодов времени (чем год), но и в промежуточные моменты времени, вне зависимости от того, предъявляются ли страховой компании требования о выплате. В частности, обсудим вопрос: имеются ли у компании достаточные средства для того, чтобы оплатить потенциальные требования о выплате?

Сумма, которую компания имеет в момент времени t, называется активами на момент t. Ясно, что

1. N(t) - число требований о выплате, имевших место до момента t; t>0.
2. {N(t)}_{t³ 0} - случайный процесс, описывающий число требований о выплате.
3. X_i- размер i-й страховой выплаты.
4. S(t) - общий размер страховых выплат, имевших место до момента t, t>0.
5. {S(t)}_{t³ 0} - случайный процесс, описывающий общий размер выплат. Для каждого t>0 имеем: .
6. U - начальные активы;
7. U(t) - активы страховщика в момент t.

Предположим, что страховые взносы поступают непрерывно и с фиксированной скоростью c. Тогда по (6.1) имеем

Ясно, что {U(t)}_{t³ 0} - случайный процесс, называемый процессом изменения активов.

Когда активы падают до нуля, то говорят, что произошло разорение страховщика.

Y (U) называется вероятностью окончательного разорения при данных начальных активах U:

Y (U)=Pr(u(t)<0, при некотором t, 0<t<¥ )

2. Сложные пуассоновские процессы

Введем дополнительные предположения:

а) случайные величины независимы и одинаково распределены (обозначим общую для всех X_i функцию распределения через F(x), плотность распределения через f(x));

б) случайные величины независимы от N(t) при всех t³ 0;

в) случайный процесс является пуассоновским с параметром l , т.е.

Тогда процесс {S(t)}_{t³ 0} является пуассоновским процессом.

Обозначим . Предположим, что страховые взносы, собранные страховщиком за единичный момент времени, превосходят ожидаемую величину страховых выплат за единицу времени

C можно записать в терминах относительной надбавки

Предположим, что M_x(t) - производящая функция моментов для распределения страховых выплат.

3. Неравенства Лундберга.

Обычно невероятно трудно вычислить точно вероятность (окончательного) разорения Y(U). Неравенство Лундберга дает некоторую верхнюю границу для Y(U)

Y (U) £exp(-RU) (6.2)

где R - поправочный коэффициент;

U - начальные активы.

Это неравенство имеет два преимущества над точным выражением для Y(U):

Неравенство (6.2) говорит о том, что вероятность разорения ограничена функцией, экспоненциально убывающей с ростом U. Вероятность разорения убывает с ростом U и R.

4. Поправочный коэффициент

Поправочный коэффициент R является единственным положительным корнем уравнения

(6.3)

Пример 6.1. Распределение выплат экспоненциально с функцией распределения F(x)=1-exp(-a x), x>0. Найти поправочный коэффициент.

Решение. Производящая функция моментов M(t)=a /(a -t), а среднее p₁=1/a, то нужно решить уравнение

Если (6.3) решается с помощью численных методов, то верхняя граница для R может оказаться очень полезной. Из (6.3) получаем

(6.4)

Зависимость поправочного коэффициента от надбавки безопасности представлена на рис 6.1.; первый график соответствует экспоненциальному распределению со средним 1, а второй - постоянному распределению страховых выплат (каждая страховая выплата имеет размер 1).

Рис 6.1. График зависимости R от q.

5. Определение вероятности

окончательного разорения в экспоненциальном случае.

В общем случае Y(U) удовлетворяет уравнению

(6.5)

Рис 6.2. Графики Y(U) и exp(-RU) в случае экспоненциальности страховых выплат со средним 1 и надбавкой безопасности q=0,2.

Рис 6.3. График зависимости Y(10) от q в случае, когда выплаты распределены экспоненциально со средним 1.

6. Задача о разорении и перестрахование

Согласно неравенству Лундберга (6.2), верхняя граница для вероятности окончательного разорения примет минимальное значение, если величина поправочного коэффициента максимальна. Изучим влияние эффекта перестрахования на поправочный коэффициент.

Рассмотрим эксцедентное перестрахование. Если X - размер страховой выплаты, M - уровень собственного удержания, то Y=min(X,M) - выплаты страховщика, Z=max(0,X-M) - выплаты перестраховщика. Обозначим через q и x надбавки безопасности страховщика и перестраховщика соответственно.

Из неравенства

q p₁³x E(Z), при q< x (6.6)

можно найти нижний предел M.

Пример 6.2. Страховые выплаты, производимые страховщиком, имеют экспоненциальное распределение со средним 1. Определить нижний предел M.

Если q =0,15и x =0,3, то M ³ln2 = 0.693.

Условие (6.6) устанавливает предел, показывающий насколько большой может быть часть риска, передаваемая перестраховщику. Но какое значение M должен выбрать страховщик? Поскольку q£x, перестрахование уменьшает ожидаемую прибыль страховщика. Перестрахование - это всегда компромисс между ожидаемыми прибылями и безопасностью. Цель перестрахования - повысить безопасность и безопасность достигается с помощью минимизации вероятности разорения, или максимизации поправочного коэффициента.

С появлением перестрахования поправочный коэффициент удовлетворяет уравнению

(6.7)

В (6.7) следует выбирать M так, чтобы R принял наибольшее значение.

Пример 6.3. (продолжение примера 6.2) В случае, если f(x)=e^-x, x>0, (6.7) примет вид

- (6.8)

уравнение для определения R. Выбираем M так, чтобы получить max R. Уравнение (6.8) можно решить числено, например, методом Ньютона.

Рис 6.4. График зависимости поправочного коэффициента R от уровня удержания M.

Из рисунка 6.4. видно, что существует некоторое значение M (близкое к 1,5 в нашем примере) такое, что если установить уровень удержания ниже этого значения, то вероятность разорения слишком велика - страховщик передает слишком много риска по слишком высокой цене. Если уровень удержания устанавливается выше указанного значения, то возможно небольшое уменьшение безопасности бизнеса или соответствующее увеличение ожидаемой прибыли.

6.1:Втечение года произведено 6требований о выплате в рамках некоторогостраховогопортфеля. Дни, в которые эти требования были предъявлены и размеры требований указаны в таблице 6.1.

Таблица6.1.Дни, в которые были предъявлены требования о выплате, размеры страховых выплат и страховые взносы (в фунтах стерлингов)

День	47	99	199	286	306	358
Размер выплаты	97	104	157	56	23	99

Компания располагает данными о прошлом поведении риска: число требований о выплате в предыдущие пять лет составляло 4, 3, 6, 2 и 5, а среднее значение страховой выплаты составляло£120. Компания исчисляет страховой взнос, используя25% надбавку безопасности q, основываясь на оценке годичных страховых выплат. Найдите совокупный годичный страховой взнос, предполагая, что страховые взносы уплачиваются непрерывно, а также постройте диаграмму процесса изменения активов.Прокомментируйте диаграмму и выбор q.

6.2.Предположим, что все страховые выплаты имеют один и тот же фиксированный размер k. Покажите, что поправочный коэффициент R удовлетворяет уравнению

e^kR=1+(1+q )kR, где R<2q /k (6.9)

3. Покажите, что итеративная схема Ньютона

где x₀ - некоторое начальное приближение к решению уравнения f(x)=0,

в случае уравнения (6.9) приобретает вид

R₁= , где R=R₀

Пусть q =0,1. Покажите, чтоиз (6.4) Þ R < 0.2. Положите R₀ = 0.2 инайдите R₁и R_2.

а) Пример 6.1 дает общее решение для R в случае экспоненциального распределения. Вычислите R при (i ) a= 1 и (ii) a = 0.1.

2. Определите R в случае, если все страховые выплаты равны 10.
1. Прокомментируйте ответы в а) и b).
4. Пусть Р(x) - функция распределения страховых выплат со среднимp₁ пусть R - поправочный коэффициент. Рассмотрим случайную величину Y=X/p₁, которой соответствует поправочный коэффициент R*. Покажите, что R* =p₁R. Выведите отсюда, что граница Лундберга, ехр(-RU), не изменяется при переходе к новой денежной единице.

6.5. Предположим, что Р(x)= 1-exp(-0.05х).

а) Подготовьте грубые графики, аналогичные изображенным на рисунке 6.2, дляq= 0.1 Каково (точное) значение U, для которого y(U)=0.05? Каково минимальное значениеU, начиная с которого разность exp(-RU)-y (U) становится меньше, чем 0.01?

2. Подготовьте грубый график, аналогичный изображенному на рисунке 6.3, для значенияU== 100. При каком qy(100) принимает значение 0.05?

6.6. Предположим, что страховые выплаты имеют только два размера: 2/3 и 4/3, причем выплаты принимают указанные значения с одинаковой вероятностью. Пусть ещеq= 0.1.

с) Сравните границы Лундберга для следующих трёх случаев: для случая, когда выплаты распределены экспоненциально со средним 1; для случая постоянных выплат, равных 1, для распределения выплат, указанного в условиях упражнения. Насколько далека точная вероятность разорения в экспоненциальном случае от указанных границ?

6.7. В примере 6.3 мы показали, что поправочный коэффициент удовлетворяет неравенству . Предположим, что страховщик использует перестрахование. Покажите, что

где Y - выплата, производимая страховщиком; Z- выплата, производимая перестраховщиком; а x - надбавка безопасности, установленная перестраховщиком.

6.8. В условиях примера 6.4, покажите, что

(6.27)

Рисунок 6.4 дает график этой верхней границы в зависимости от M.

6.9.Пополним кое-какими деталями пример 6.5. Покажите, что решение уравнения (6.25) эквивалентно решению уравнения

гдеи . Как бы Вы решали это уравнение? Каким образом искать начальное приближение?

6.10. Предположим, что распределение страховых выплат - это U(0,20), т.е. f(x)=0.05, 0<x<20. Страховщик использует надбавку безопасности q=0.1, перестрахование осуществляется с надбавкой безопасности x =0.2. Пусть уровень удержания равен M. Покажите, что среднее выплаты Z, производимой перестраховщиком, составляет

.

.