1. Модель индивидуальных рисков.

В индивидуальных моделях требования о выплате изучается на уровне договора страхования. Затем требования выплат от индивидуальных полисов суммируются с целью нахождения совокупных требований выплат для всего портфеля полисов.

Предположим, что:

1. Портфель состоит из фиксированного количества рисков, которое не изменяется на протяжении страховой ответственности;
2. Эти риски независимы;
3. Размеры требований выплат, возникающие из рисков, не обязательно одинаково распределены. Требование выплаты, проистекающее из j-го риска, X_j, имеет функцию распределения F_j(x), среднее m_j и дисперсию s_j²;
4. Количество N_j требований выплат, вытекающих из j-го риска, равно либо 0, либо 1.
5. Вероятность требований выплат для j-го риска составляет q_j.

Тогда совокупное требование выплат S из портфеля, составляет

,

где Y_j есть объем требования от j-го риска, n - количество рисков.

Тогда каждое Y_j~сложное биномиальное распределение с N_j~ B(1,q_j), и

(5.1)

(5.2)

Пример 5.1. Предположим, что имеется 300 независимых договоров страхования жизни, заключенных сроком на год. Страховая сумма составляет £1000 по всем договорам страхования. Вероятность предъявления требования о выплате составляет 0.1 по некоторым 100 договорам страхования и 0.2 по 200 оставшимся. Определить относительную надбавку безопасности.

Проводимая нами работа связана с определением страхового нетто-взноса, который до сих пор рассматривался нами равным ожидаемому размеру страховых выплат E(S_n). Мы игнорировали как издержки, так и прибыль страховщика, а также риск, принимаемый на себя страховой компанией, заключающей договор страхования: общий размер страховых выплат, как показывает V(S_n), может превзойти ожидаемый размер требований о выплате. Простой путь вычисления необходимой надбавки к нетто-взносу - это потребовать, чтобы совокупный (новый) страховой взнос покрывал с определенной вероятностью (скажем, 95 процентов) ожидаемый общий размер страховых выплат (вместо того, чтобы пользоваться средним значением общего размера страховых выплат).

Если предположить, что общий размер страховых выплат является случайной величиной, имеющей распределение, близкое к нормальному, то компания может установить совокупный страховой взнос на уровне

.

(Поскольку E(S)=50000; s=6403; с вероятностью 0,95 стандартная нормальная случайная величина принимает значение £1,645).

Сколько должен платить каждый страховщик? Кажется справедливым, чтобы доля каждого страховщика в совокупном страховом взносе была пропорциональна ожидаемой по договору с ним выплате. Таким образом, если среднее значение ожидаемой выплаты по договору с i-м страхователем равно M_i, то чистый взнос должен составлять (1+q )M_i. Сумма qM_i называется абсолютной надбавкой безопасности, а q называется относительной надбавкой безопасности.

Общий размер взносов составит

,

где z - граница, соответствующая по стандартному нормальному распределению, выбранной доверительной вероятности p, т.е. если Y - стандартная нормальная случайная величина, то .

Пример 5.2. Страховая компания заключила 8000 договоров страхования жизни сроком на год. Информация о страховых суммах приведена в таблице 5.1, в качестве единицы измерения страховой суммы выбрана сумма в £10 000.

Компания может уменьшить эту вероятность, устанавливая уровень собственного удержания M. Цена за перестрахование составляет 0,022 за £1 покрываемой суммы (т.е. пропорциональна ожидаемому размеру выплат).

Предположим, что компанией установлен уровень удержания M= £16 000. Найдем вероятность того, что общий размер страховых выплат (включая и перестраховочный взнос) превзойдет 240 единиц.

Найдем новые среднее м дисперсию общего размера страховых выплат: . Получим стоимость перестрахования. Общий размер страховых сумм составляет 5000*1+3000*2=11000, из которых компания удерживает на своей ответственности 5000*1+3000*1,6=9800. Таким образом, сумма, принимаемая перестраховщиком, равна 11000-9800=1200. Перестраховочный взнос составляет 1200*10000*0,022= £264000=26,4 единицы. Следовательно, если уровень удержания установлен в сумме £16000, то общие издержки компании составят . Определим вероятность, с которой эти издержки превзойдут 240.

2. Модель коллективных рисков.

В отличии от моделей индивидуальных рисков, модель коллективных рисков совершенно по иному моделирует общий размер страховых выплат. Основная идея в том, что требования по страховому портфелю в целом представляют собой случайный процесс. Этот тип моделей можно проиллюстрировать так:

Число требований о выплате по всему страховому портфелю имеет распределение Пуассона со средним l . Размер страховой выплаты подчиняется экспоненциальному распределению со средним q . Размеры страховых выплат независимы друг от друга и от числа предъявляемых требований о выплате. Общий размер страховых выплат представляют собой пример сложного распределения Пуассона.

Математическая модель коллективных рисков строится следующим образом: Пусть N - число требований о выплате, сделанных в рамках страхового портфеля за данный отрезок времени. Пусть X_i размер i-й выплаты. Тогда

соответствует общей сумме выплат произведенных за данный отрезок времени. Как N, так и X₁,...,X_n являются случайными величинами.

Обычно предполагается, что

1. X₁,...,X_n - одинаково распределены;
2. N,X₁,...,X_n независимы в совокупности.

Среднее, дисперсия и производящая функция моментов общей суммы выплат имеют вид

(5.3)

Пример 5.3. Предположим, что число требований о выплате имеет геометрическое распределение, т.е. функция плотности N имеет вид

,

где 0<q<1, p=1-q. Для того, чтобы применить (5.3) необходимо знать M_N(t).

и подставляя полученное выражение в формулу для M_S(t) имеем

.

3. Распределение общей суммы требований выплат.

1. Суммарное распределение, использующее свертки.

Пусть G(S)=Pr(S£ s) - функция распределения для S; Если есть n - кратная свертка распределения X_j, т.е.

,

(5.4)

Замечание. Если распределение выплат дискретно и возможные значения N малы, то с (5.4) легко работать. Иногда распределение X₁+...+X_n может находится в том же классе распределения, что и общее распределение всех X_i; это происходит, например, когда X_i имеют нормальное распределение, или когда общим является гамма-распределение.

2. Сложное пуассоновское распределение

S ~ CP(l ,F), если

1. X_j одинаково распределены с общей для них функцией распределения F(x)
2. X_j независимы от N
3. N ~ P(l )

(5.5)

(5.6)

3. Аддитивность случайных величин со сложным распределением Пуассона.

Пусть S₁,S₂,...,S_m взаимно независимые случайные величины, такие что S_i~CP(l_i,F_i) для каждого i. Пусть S=S₁+...+S_m. Тогда S~ CP(l ,F), где

, где . (5.7)

Пример 5.4. Страховой портфель содержит 10 000 договоров страхования жизни сроком на год. Половина из них имеет страховую сумму £10 000, а другая £20 000. Вероятность того, что страхователь предъявляет требования о выплате составляет 0,04. Каково распределение общего размера страховых выплат по указанным договорам страхования?

Решение. I. Решим проблему с использованием индивидуальной модели риска. Пусть N₁ - число страховых выплат размера £10 000, а N₂ - число страховых выплат размера £20 000, тогда N₁~В(5000; 0,04), N₂~В(5000; 0,04). Общий размер требований о выплате, подсчитываемый по формуле

(5.8)

(5.9)

Будем считать, что распределение S близко к

2. Решим проблему с использованием модели коллективных рисков. Разобьем портфель на два субпортфеля. Совокупная стразовая сумма по договорам в £10000 имеет сложное распределение Пуассона со средним l₁=5000*0,04=200; совокупная страховая сумма по остальным договорам страхования также имеет сложное распределение Пуассона с l₂=200. Заметим, что мы аппроксимируем истинное распределение числа страховых выплат - биномиальное - распределением Пуассона, это приемлемо, ибо коэффициент смертности мал, а число страхователей велико. Распределение размеров страховых выплат в рамках суб-портфелей таковы:

Рассматривая полученные результаты совместно, находим, что общий размер страховых выплат имеет сложное распределение Пуассона с l =400 и , т.е.

Следствием того, что мы смотрим на распределение общего размера страховых выплат как на сложное распределение Пуассона является то, что общий размер страховых выплат рассматривается теперь как случайная величина, принимающая значения между 10 000 и 20 000 с одинаковой вероятностью. Это противоречит истинной ситуации, когда ровно половина страховых сумм составляют £10 000, а оставшиеся - £20 000.

(5.10)

(5.11)

Сравним среднее и дисперсию, полученные двумя способами. Средние, подсчитанные в (5.8) и (5.10) совпадают, поскольку Пуассоновская аппроксимация биномиального распределения дает то же среднее, т.е. l=np. Дисперсия сложного распределения Пуассона в (5.11) несколько больше, чем дисперсия, полученная в (5.8), ибо дисперсия биномиального распределения равна npq < np = l, т.е. меньше дисперсии соответствующего распределения Пуассона.

4. Нормальная аппроксимация распределения совокупных требований.

Если N велико, то в силу центральной предельной теоремы S будет (приближенно) иметь нормальное распределение со средним m=E(S) и дисперсию s²=V(S).

Если N мало, то эта аппроксимация будет плохой, как для сложного пуассоновского, так и для сложного отрицательного биномиального распределения, асимметрия S всегда положительна, а нормальное распределение (с нулевой асимметрией) особенно плохо аппроксимирует правый хвост.

5. Сдвинутая гамма-аппроксимация.

Предположим, что S @ V + k, где k постоянна, а V ~ G(a ,b ). Подбираем a,b ,k путем подгонки первых трех моментов Sк первым трем моментам V + k.

При подсчете вероятностей часто бывает полезным использовать тот факт, что если V ~ G(a ,b ), то (если 2a - целое число).

6. Нормальная степенная аппроксимация.

Пусть G(x) - функция распределения для S. Приближенно

,

,

где ks[S] - коэффициент асимметрии S;

sd[S] - стандартное отклонение S.

Рекуррентное вычисление G(x).

Пусть p_n=Pr(N=n). Если размеры требований выплат X_j распределены на целых числах без нулевых требований выплат, т.е. если X_j распределено на {1,2,3,...}, при Pr(X_j=k)=f_k и если p_n таково, что для некоторых aи b, то функция вероятности совокупных требований выплат равна

для некоторых a,b.

7. Влияние перестрахования на распределение совокупных требований выплат.

Требования выплат распределяется между непосредственным страховщиком (НС) и перестраховщиком (ПС).

1. Квотное разделение с удерживаемой долей a, 0 £a£1. Для j-го требования размером, скажем, X_j НС выплачивает aX_j, а ПС выплачивает (1-a )X_j. Совокупное требование выплат для НС составляет S^*=a S, а совокупное требование выплат для ПС равно S^**=(1-a )S.

2. Избыточное перестрахование. Оно аналогично квотному разделению, но удерживаемая доля a зависит от страхового риска, так что если j-е требование происходит из полиса i, НС выплачивает a_iX_i, а ПС выплачивает (1-a i)Xi. Если страховой портфель делится на группы полисов с одинаковой или близкой удерживаемой долей, то для каждой такой части портфеля перестрахование идентично квотному разделению.

3. Перестрахование превышения убытков с уровнем собственного удержания M и верхним порогом N. Для j-го требования выплаты размером X_j НС выплачивает X_j^*, где

а ПС выплачивает X_j^**, где

Часто допускается отсутствие верхнего порога, т.е. N=¥.

Для НС можно использовать все результаты, полученные по совокупным распределениям, заменяя распределение X_j распределением X_j^*. В частности, если совокупные требования выплат - сложные пуассоновские, то таковыми являются и совокупные требования выплат перестраховщика (и аналогично для любого сложного распределения S).

4. Перестрахование, блокирующие убыток, с уровнем собственного удержания M, и верхним порогом N. Перестрахование, блокирующие убыток, действует на весь портфель аналогично тому, как перестрахование превышения убытков действует на индивидуальное требование. Там, где Sесть совокупное требование выплат за год, НС выплачивает S^*, где

а ПС платит S^**, где

5.1. Пусть I_i, i= 1,2,...,n - независимые случайные величины, такие, что Рr(I_i=1)= pи Рr(I_i = 0) = q = 1— р. Пусть X=

а) Каково распределениеX ?

b) Покажите, что Е( I_i ) = р и V(I_i)=pq.

5.2. Вероятность предъявления требования о выплате по срочному договору страхования равна 0.05. Если требование о выплате имеет место, его размер подчиняется распределению Парето Р(3, 1000). Используя второй метод предыдущего примера, найдите среднее значение и среднее квадратическое отклонение размера требования о выплате.

Подсказка: используйте упражнение 3.2.

5.3. Страховая компания заключает договоры страхования жизни сроком на год. В таблице 5.2 представлена информация об указанном страховом портфеле: число заключенных договоров страхования, возрасты страхователей x, вероятности предъ-явления требований о выплате q_x и размеры страховых сумм.

Таблица 5.2:Информация о 1000 договорах страхования

Возраст, x	Количество договоров	qx	Страховая сумма
40	4000	0,001	4
50	3500	0,004	5
60	2500	0,010	6

2. Предположим, что для всякого возраста x общий размер страховых выплат для страхователей возраста x -случайная величина, имеющая нормальное распределение. (Разумное ли это допущение?). Найдите надбавку безопасности к страховому взносу для каждого возраста, необходимую для того, чтобы вероятность события "страховые выплаты превзойдут страховые взносы" равнялась 5%.
1. Если страховые взносы установлены в соответствии с п.b), то какова вероятность того, что страховые выплаты по всем договорам страхования в течение года превзойдут собранные взносы?

Прокомментируйте ответы b) и с).

5.4. Страховщик предлагает договоры страхования отпускников. Вероятность предъявления требования о выплате по такому договору оценивается в 0,1, а размеры требований о выплате следуют экспоненциальному распределению со средним 100. Страховой взнос составляет £12, страховщик заключил 1000 договоров страхования.

1. Найдите вероятность того, что страховщик получит прибыль

Страховщик подумывает об установлении франшизы, с тем, чтобы оплачивать только часть требований о выплате, превышающую £25.

2. Какова вероятность того, что по договору с франшизой придется произвести страховую выплату.
1. Найдите общий размер требований о выплате, если 400 договоров из 1000 заключенных предусматривают в качестве опциона франшизу.

5.5. (продолжение примера 5.4). Предположим, что компания установила уровень собственного удержания в размере £12000, т.е. компания перестраховала большую часть страховых сумм по договорам с более высокими выплатами. Повторите вычисления из примера 5.4, т.е. найдите:

Проделайте указанные вычисления также и для случая, когда уровень удержания устанавливается равным £10000, т.е. половине страховых сумм по договорам с более высокими выплатами.

Теперь у нас есть четыре вероятности того, что общие издержки компании превысят 240 единиц.

Используя квадратичную интерполяцию оцените уровень удержания, который минимизирует вероятность того, что страховые выплаты вместе с расходами на перестрахование превзойдут 240 единиц. Иными словами, какой уровень удержания Вы бы порекомендовали установить?

6. Случайная величина X обозначает размер требования выплат в наступающем году по конкретному типу риска. X можно записать в виде X=I.B, где I есть индикаторная случайная величина, в случае I=1 показывающая, что требование выплаты возникло в данном году, а B есть случайная величина, представляющая размер требования выплаты при условии, что такое требование выплаты возникает. По каждому риску может возникнуть самое большее одно требование выплаты в год. Пусть q означает вероятность того, что требование выплаты возникает, и пусть m и s²означает среднее и дисперсиюB, соответственно.

а) Вывести формулы в терминах q, m и s²для среднего и дисперсии X.

б) Теперь предположим, что q=0.1 и

Пусть X₁ и X₂ будут случайными величинами, обозначающими размеры требований выплат в наступающем году по двум из этих рисков.

1. Рассчитать вероятность того, что (X₁ + X₂) ³10 000.
2. Пусть Y будет нормально распределенной случайной величиной с теми же самыми средним и дисперсией, что и (X₁ + X₂). Вычислить вероятность того, что Y ³10 000.
3. Кратко объяснить, почему вероятности в пунктах (1) и (2) настолько различны.

7. а) Случайная величина имеет усеченное экспоненциальное распределение с параметрами l(>0) и L (>0), если функция ее распределения F(x) определяется следующим образом:

.

.

5.8. Покажите, что производящая функция моментов сложного распределения Пуассона такова:

Подсказка: Используйте упражнение 2.6 и (5.16).

5.9. Это упражнение продолжает обсуждение упражнения 5.3, начатое в примере 5.7. Используя метод сложных распределений Пуассона, решите b) и с) из упражнения 5.3.

5.10. Страховщик заключил 1500 договоров (общего) страхования и число требований о выплате по каждому договору следует распределению Пуассона со средним 0.015. Распределение размеров (имевших место) страховых выплат приведено в таблице 5.3.

Таблица 5.3: Распределение размеров страховых выплат.

Размер выплаты	200	400	600	800	1000
Вероятность	0.1	0.2	0.3	0.3	0.1

b) Предположим, что страховщик хочет быть на 95% уверен, что он будет иметь прибыль от указанного бизнеса.

Найдите надбавку безопасности, при которойэто достижимо.

с) Предположим, что договор имеет франшизу в £300. Каково среднее и дисперсия общего размера страховых выплат? Какова надбавка безопасности необходимая (и теперь) для того, чтобы страховщик имел прибыли с вероятностью 95%?

4. Прокомментируйте увеличение надбавки безопасности.

11. Допустим, что портфель из 20 полисов страхования автомобилей имеет следующие характеристики:

Совокупные требования по каждому риску имеют сложное пуассоновское распределение. Параметр Пуассона i-го риска есть l_i, где

l_i = 0.1 для i=1,2,...,15;

l_i = 0.15 для i=16,17,...,20;

Распределение суммы отдельного требования по i-му риску есть логнормальное распределение с параметрами ? и ?, где

l= 6.095l= 1.0 для i=1,2,...,10;

l= 6.660l= 0.8 для i=11,12,...,20;

а) Вычислить E[S] и V[S].

б) Какова вероятность того, что отдельное требование из данного портфеля превышает £ 10 000?

в) Используя нормальную аппроксимацию распределения S, оценить вероятность того, что S > 10 000.

г) Доказать, что вероятность того, что S > 10 000 больше вашей оценки в пункте (в) выше.

12. Компания по страхованию легковых автомобилей недавно провела анализ частоты и размеров требований выплат, касающихся стоимости ремонта застрахованного автомобиля после аварии. Компания особым образом заинтересована в отделении стоимости замены разбитого ветрового стекла от стоимости остального ремонта автомобиля.

Для единичного полиса в течение одного года пусть X_i, i=1,2,...,N₁ обозначает сумму i-того требования, которая включает ремонт автомобиля страхователя без замены разбитого ветрового стекла (N₁ обозначает количество таких требований выплат в год), а Y_j, j=1,2,...,N₂ обозначает полную сумму j-того требования выплаты, включающую ремонт автомашины страхователя и замену разбитого ветрового стекла (N₂ обозначает количество таких требований).

Компания предполагает, что:

• N₁ и N₂ имеют пуассоновское распределение;
• N₁ , N₂, и взаимно независимы;
• случайные величины X_i одинаково распределены;
• случайные величины Y_j одинаково распределены, и
• что необходимость замены ветрового стекла не влияет на стоимость других видов ремонта автомобиля.

Пусть

.

Результаты анализа показывают, что N₁ + N₂ имеет ожидаемое значение 0.25 и что S имеет среднее £250 и среднеквадратическое отклонение £600. Результаты отдельного анализа показывают, что стоимость замены ветрового стекла имеет среднее £200 и стандартное отклонение £30. Согласно подсчетам компании, для 40% всех требований выплат, связанных с ремонтом автомобиля страхователя также требуется и ремонт разбитого ветрового стекла.

а) Рассчитать среднее и стандартное отклонение стоимости ремонта автомобиля страхователя по единичному полису в течении одного года, исключив стоимость ремонта разбитого ветрового стекла.

б) Кратко прокомментировать какое-либо из приведенных выше предположений, кажущееся вам неоправданным.

13. Совокупные требования по риску в один год имеют сложное пуассоновское распределение. Параметр Пуассона есть l , размеры отдельных требований выплат всегда положительны с функцией плотности f(x). Пусть V обозначает дисперсию совокупного требования выплат. Страховщик подготавливает специальный договор перестрахования превышения убытков для данного риска. По такому договору перестраховщик выплачивает сумму превышения каждого индивидуального требования выплаты некоторого предела M₁, при максимальной оплате перестраховщиком по любому единичному требованию выплаты суммы (M₂-M₁) для некоторого M₂ > M₁ .

Другими словами, если X есть сумма единичного требования выплаты до перестрахования, а Y есть сумма, выплачиваемая перестраховщиком, то

,если , (1)

,если , (2)

,если . (3)

и страховщик платит X-Y.

Пусть V_I и V_R обозначают дисперсии совокупных требований выплат, оплачиваемых страховщиком и перестраховщиком, соответственно.

а) Привести интегральные формулы для V_I и V_R в терминах l, f(x), M₁и M₂.

б) Показать, что V_I и V_R£V.

в) Вычислить V_I , при заданных

14. а) Страховщик принимает риск, для которого суммы отдельных требований выплат удовлетворяют распределению Парето с параметрами a=2.5, l=30 000. Риск покрывается перестраховщиком А по договору страховщика о квотном разделении, согласно которому удерживаемая страховщиком доля составляет 75%.

Показать, что удерживаемая величина требования выплаты имеет распределение Парето с параметрами a=2.5, l =22 500.

б) Страховщик также покупает полис перестрахования превышения убытков по данному риску у другого перестраховщика В. Положения перестрахования превышения убытков применяются к суммам требований выплат, остающихся после применения договора о квотном разделении. Согласно полису перестрахования превышения убытков, превышение (если таковое имеется) суммы каждого требования выплаты величины £200 000 оплачивается перестраховщиком В в пределах максимальной выплаты размером £100 000 по каждому требованию выплаты.

1. Распределение количества требований выплат по перестрахованию превышения убытков есть пуассоновское распределение с параметром q= 0.2. Количество требований выплат не зависит от размеров единичных требований выплат. Каково распределение числа требований выплат прямого страховщика?
2. Вычислить средний размер единичного требования выплаты, оплачиваемый перестраховщиком по требованиям выплат, среди которых оно содержится.

15. а) Случайная величина Y имеет логнормальное распределение с параметрами m и s . Показать, что для любых действительных чисел aиb,

0 £ a £ b £¥и для любого положительного целого числа m

,

где f есть функция плотности для Y, Ф есть стандартизованная функция нормального распределения, и

,

.

б) Годовые совокупные требования выплат по некоторому риску имеют сложное пуассоновское распределение. Параметр Пуассона есть l , суммы единичных требований выплат имеют логнормальное распределение с параметрами m и s . Количество требований выплат в прошлом году и сумма i-го требования выплаты обозначаются через n и y_i, соответственно, где i=1,2,...,n.

1. Вывести три равенства, которым удовлетворяют , и , оценки максимального правдоподобия , и соответственно, в терминах n и y.
2. Дано:

где суммируются n требований выплат, показать, что

3. Пусть Y будет случайной величиной, обозначающей размер i-го требования выплаты в наступающем году. Перестраховщик предлагает оплатить превышение по каждому отдельному требованию величины £ 1 000 по любому требованию выплаты. Иными словами, перестраховщик предлагает заплатить в совокупности на будущий год случайную сумму W, где

,

где N представляет общее количество требований выплат на будущий год, и

Используя оценки , и , данные в пункте (2) выше, вычислить среднее значение W.

5.16. Случайная величина S представляет совокупное требование выплат по некоторому риску на протяжении 1 года. S имеет сложное пуассоновское распределение с параметром Пуассона l =10 и суммами единичных требований выплат Y₁,Y₂,...,Y_N(T), распределенных таким образом, что для всех j=1,2,...,N(T), Z_j=ln(Y_j) имеет гамма-распределение с функцией плотности

,

где a=65 ,b =9.0.

а) 1) Показать, что общая сумма плотности Y_j есть

,

значение a,bсм. выше.

2. Показать, что если j(u)есть функция, производящая момент Z_j для всех j, то

б) Использовать нормальное приближение к распределению совокупных требований выплат для оценки вероятности того, что S > 40 000.

в) Использовать переведенное гамма-приближение к распределению совокупных требований выплат для оценки вероятности того, что S > 40 000.

17. Случайная величина N представляет количество требований выплат по некоторому риску в год. Размер i-го требования выплаты представлен Y_i, где

,если ,

,если .

Предположим, что N имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, и что Y_i распределено на положительных целых числах. Пусть f_k и g_j определены следующим образом:

, k=1,2,3,...

, j=0,1,2,...

,

и сформулировать, но не доказывать общую формулу для g_j в терминах n, p, j, f_i и g_j-k, где k=1,2,...,j.

б) При n = 10, p = 0.1, E[Y_i] = 5.5 и V[Y_i] = 7.25 вычислить среднее значение и дисперсию X.

в) Предполагая дополнительно к данным в вышеприведенном пункте (б), что f₁=0.1, вычислите среднее значение и дисперсию Z, где

, если ,

, если .

18. Страховая компания рассчитывает страховую премию для полиса коллективного страхования жизни. По этому полису для каждого имеющего на это право члена персонала какой-либо компании выплачивается страховое возмещение в случае смерти на службе, зависящее от ставки годового оклада. Страховая компания предполагает постоянным годовой коэффициент смертности для всех членов данной страховой схемы и равным 0.0015 и что страховое возмещение, выплачиваемое на смерть члена, есть случайная величина с функцией распределения

для 25 000 £x < ¥

а) Вычислить среднее значение и дисперсию полных ежегодных расходов по требованиям выплат для этого полиса.

б) Используя принцип дисперсии и нормальную аппроксимацию для распределения совокупных требований выплат, показать, что коэффициент премиальной нагрузки, который гарантирует, что страховой взнос превышает требования выплат с вероятностью 0.8, равен 5.0 х 10^-6. Каков коэффициент нагрузки для этого же уровня обеспечения, если использовать принцип ожидаемой стоимости?

в) После изменения правил схемы страховое возмещение, выплачиваемое в связи со смертью застрахованного, ограничено максимальной суммой £100 000. Используя премиальную нагрузку из (б), найти пересмотренную премию по принципу дисперсии. Используя эту премию и нормальную аппроксимацию распределения совокупных требований выплат, найти вероятность того, что требования выплат превысят страховые взносы в течении полисного года.

г) Повторить пункт (в), используя принцип ожидаемой стоимости и нагрузку для принципа ожидаемой стоимости из (б).

д) Кратко обсудить различия, возникающие между принципом дисперсии и принципом ожидаемой стоимости для премий, после изменения страхового возмещения.

19. а) Показать, как страховой взнос, исчисленный по экспоненциальному принципу

б) Требования выплат по риску имеют сложное пуассоновское распределение с параметром Пуассона q= 20. Размеры индивидуальных требований выплат, исчисленные в тысячах фунтов £1 000 имеют моменты возле нуля: , , .

1. Допуская, что с целью расчета страхового взноса страховщик использует сдвинутую гамма - аппроксимацию к распределению совокупных требований выплат, найти выражение для страхового взноса в терминах параметра tg экспоненциального принципа и параметров a, lи K сдвинутого гамма - распределения.
2. Вычислить параметры сдвинутого гамма - распределения по этому риску.
3. С помощью миллиметровой бумаги схематический изобразить страховую премию как функцию параметра tg экспоненциальной премии для 0<q <0.22 Прокомментировать этот набросок.
4. Дополните ваш график страховым взносом, взимаемым по экспоненциальному принципу, используя нормальное приближение к распределению совокупных требований выплат вместо сдвинутой гамма - аппроксимации. Кратко прокомментировать результаты.