P_CR = Z P_R + (1 - Z) P_C , 0 < Z £ 1, (4.1)

где P_R - оцененная премия, основанная на опыте самого индивидуального риска,P_C - оцененная премия, основанная на опыте других подобных рисков. P_CR - взвешенное среднее значение этих двух оценок. Z - коэффициент доверия (правдоподобия, достоверности) - это мера того, насколько надежными считает страховая компания прямые данные о новом риске. Часто доверительный взнос (4.1) выражают формулой:

доверительный взнос = .

1. Американская теория достоверности.

1. Частота требований выплат.

Возникает интересный практический вопрос: сколько данных необходимо иметь по оцениваемой страховке, чтобы можно было принять коэффициент доверия равным единице? Для определения достаточности числа данных по оцениваемой страховке, чтобы можно было принять Z=1, актуарии Северной Америки используют следующий критерий: относительная погрешность между действительным нетто-взносом (b ) и оценкой, полученной на основе имеющихся данных (), не должна превышать заданной величины (kb) с заданной вероятностью p. Данные “полностью (k,p) - достоверны”, если

(4.2)

Пример 4.1.

Предположим, что ежегодное число страховых случаев подчиняется распределению Пуассона с неизвестным параметром l . Пусть имеются предыдущие данные по этой страховке за n лет, причем полное число наблюдаемых страховых случаев равно M. Оценить частоту страховых случаев.

Решение.

Оценка l , основанная на этих данных, есть . Считая M случайной величиной, имеем

M ~ N (l n , l n ) (4.3)

Из формулы (4.2) получаем, что данные полностью (k,p) - достоверны, если

(4.4)

Чтобы закрепить понимание идеи, примемk = 0.05 и p = 0.9, т.е. потребуем, чтобы вероятность того, что оценка l лежала в пределах 5% от действительного значения, составила 90%. Используя формулу (4.3) и таблицы стандартного распределения, можно показать, что для выполнения (4.4) необходимо

(4,5)

Таким образом, риск является вполне (k,p) достоверным, 0<k<1, 0<p<1, если имеется достаточно данных о том, что частота предъявленных требований выплат, находится в пределах 100k% основного ожидаемого значения, больше p, т.е.

,

где M- количество требований выплат имевших место за период nлет;

l- истинное значение ожидаемого количества требований выплат

Обычно используемым стандартом является k = 0.05 и p = 0.95.

2. Размеры требований выплат.

Если предыдущие данные по страховке недостаточны, чтобы их можно было считать полностью достоверными, то необходимо использовать дополнительные данные, а также определить коэффициент Z.

Если размеры индивидуальных требований выплат Y_j имеют моменты E(Y_j)=p₁, E(Y_j²)=p₂, то критерием полного правдоподобия служит:

(4.6)

Если риск не является вполне правдоподобным, используется коэффициент правдоподобия для стандарта (k,p)

(4.7)

где m₀ есть количество требований выплат, необходимых для полного правдоподобия. Вывод формул (4.6) и (4.7) приведен в приложении 4.

2. Байесовский подход к достоверности

Основной сложностью подхода к теории достоверности является отсутствие удовлетворительного метода определения коэффициента Z (см. Приложение 4), когда данные по оцениваемой страховке нельзя считать полностью достоверными. Байесовский подход преодолевает эту сложность и имеет ряд других преимуществ.

Апостериорная байесовская оценка частоты требований выплат или их размера (относительно квадратичных убытков) удовлетворяет условиям правдоподобия оценки. Апостериорная байесовская оценка постоянного, но неизвестного параметра q , связанного с каким-либо риском, имеет вид

,

где - есть данные, полученные от риска со средним значением .

1. Пуассоновская гамма-модель.

Предполагается, что частота требований индивидуального риска имеет P(l ) распределение с неизвестным l , моделируемым с использованием априорного распределения G(a ,l ), и тогда

, где .

Пример 4.2.

1. Число страхуемых каждого возраста n_i;
2. Полная страховая сумма для всех страхуемых одного возраста S_i, где i пробегает по всем возрастам. Страховщик предполагает, что

для всех i,

где - сила смертности в возрасте i для страхуемого по данной схеме,

- сила смертности в возрасте i, согласно таблице дожития А 1967-70 Ultimate,

- параметр, значение которого одинаково для всех i, но неизвестно.

Неопределенность в отношении значения q моделируется тем, что qсчитается случайной величиной: q~ N(4;4), поэтому априорное среднее q равно 1, а его априорная дисперсия 1/4.

Страховщик предполагает, что число выплат в прошлом году имеет пуассоновское распределение с параметром . Истинный нетто-взнос на предстоящий год есть:

, (4.8)

а) Если у страховщика нет данных по предыдущим выплатам, относящимся к этой схеме, наилучшей оценкой q является E[q ]=1. В этой случае нетто-взнос равен

(4.9)

б) Предположим, что страхование по схеме осуществлялось в течение m лет. Обозначим через x_j число смертей, случившихся j лет назад. Обозначим через t_j коэффициент

,

где n_ij - число страхуемых возраста i в схеме jлет тому назад. Следовательно, t_jпредставляет собой математическое ожидание числа смертей в соответствии с А 1967-70 Ultimate, а x_j - реализация случайной переменной X_j, где

Тогда, апостериорное распределение q при заданных x₁,x₂,...,x_m есть (см. приложение 5). Следовательно, оценка q на основе данных, т.е. E(q |x₁,x₂,...,x_m)есть:

, (4.10)

, (4.11)

Чтобы проиллюстрировать численно эти формулы, предположим, что m=5, x₁=1, t₁=2.5.

2. Нормально-нормальная модель.

Предполагается, что размеры требований нормально распределены при постоянном, но неизвестном среднем q и известном стандартном отклонении s₁. Априорное распределение также нормально со средним m и стандартным отклонениемs₂. Тогда

,где .

Пример 4.3.

Дано: X₁|q~ N(8.6;4); X₂|q~ N(9.4;4); X_3q~ N(11.2;4);q~ N(10,1). Вычислить доверительный взнос.

Косвенные данные: .

Прямые данные:

Тогда Z=3/7; доверительный взнос = 3/7 * 9,5 + 4/7 * 10 = 9,79.

3. Эмпирические байесовская теория достоверности.

Байесовский подход срабатывает лишь в небольшом числе случаев и требует наложения сильных предположений на распределение (знание априорного распределения). Наиболее эффективным является использование эмпирического подхода для нахождения оценки правдоподобия, которая близка к апостериорной байесовской статистике.

Эмпирическая байесовская техника также позволяет использовать данные от группы рисков для оценки параметров “априорного” распределения.

1. Эмпирическая байесовская модель (Модель 1)

Пусть X_j, j=1,2,...,n обозначают совокупные требования выплат по некоторому риску. Предполагается, что они одинаково распределены, причем это распределение зависит от некоторого фиксированного, но неизвестного параметра q , такого что средним значением X_j для всех j является некоторая функция от q , обозначаемая через m(q ). Целью является нахождение оценки E(m(q )|x), которая имеет вид оценки правдоподобия, где x=(x₁,x₂,...,x_n) есть совокупность наблюдаемых значений X_j. Предположение относительно X_j и q следующие:

1. X_j одинаково распределены;
2. X_j |qнезависимы и одинаково распределены;
3. E[X_j, q ]=m(q )для всех j;
4. V[X_j, q ]=s²(q )для всех j.

Эмпирический байесовский доверительный взнос дается формулой

,

Необходимо получить оценки E[m(q )], V[m(q )], E[s²(q )].Допустим, что есть группа из N рисков с данными за n лет по совокупным требованиям выплат для каждого риска. Допустим, что требования выплат в разные годы по каждому риску одинаково распределены и зависят от постоянного, но неизвестного параметра q_i для i-го риска, i=1,2,...,N. Пусть X_ij обозначает требования выплат по риску i в год j, i=1,2,...,N, j=1,2,...,n.

1. X_i1,X_i2,...,X_in одинаково распределены,
2. X_i1|q_i,X_i2|q_i,...,X_in|q_iодинаково распределены,
3. q₁,q₂,...,q_nодинаково распределены,
4. (q_i , X_ij),(q_k , X_kj) одинаково распределены для всех i¹ k.

С учетом данных по этим рискам (x_1,1,...,x_N,n) несмещенными статистиками для этих параметров служат:

где .

Пример 4.4.

Имеется сверхсовокупность с q ~N(10,1), три риска с q =8,6; 9,4; 11,2. Данные по трем рискам приведены в таблице 4.1.

Решение.

Пример 4.5.

Используем эмпирическую байесовскую модель для расчета эмпирической байесовской достоверной оценки нетто-взноса для первого страховщика. Предположим, что для данного страховщика выплаты идентично распределены от года к году. Поскольку влияние инфляции устранены, резонно предположить, что число страховых полисов и условия страхования меняются из года в год незначительно. Оценим E[m(q )], V[m(q )], E[S²(q )].

2. Модель Бюльмана-Штрауба (Модель 2)

В предыдущей модели рассматривалась согласованность рисков в отношении размера страхового покрытия по каждому риску в каждый год. В данной модели полученный результат обобщается на риски с ежегодно изменяющимся объемом, и обобщается процедура оценивания, что позволяет использовать данные по рискам, которые аналогичны оцениваемым, но которые могут отличатся по объему риска.

Пусть Y_j, j=1,2,...,n обозначают совокупные требования выплат по некоторому риску и пусть P_j обозначает объем риска в год j. Объем риска предполагается известным и не является случайной величиной.

Тогда X_j=Y_j/P_j, j=1,2,...,n есть объем совокупного требования выплат в j-й год на единицу объема риска.

Предположим, что X_j имеет распределение, зависящее от некоторого фиксированного, но неизвестного параметра q такого, что среднее значение X_j для всех j является некоторой функцией от q , обозначаемой m(q ). Целью является нахождение оценки E[m(q )|x], которая имеет форму оценки правдоподобия, где x=(x₁,x₂,...,x_n) есть множество наблюдаемых значений X_j. Предположения относительно X_j и q следующие

1. X₁|q_i,X₂|q_i,...,X_n|q_iнезависимы (но не обязательно одинаково распределены),
2. E[X_j, q ]=m(q )не зависит от j;
3. V[X_j, q ]=s²(q )и не зависит от j.

,

Найдем оценки для E[m(q )], V[m(q )], E[s²(q )]. Предположим, что имеется группа из N рисков с данными за n лет по совокупным требованиям выплат для каждого риска. Пусть Y_ij будут (случайными) совокупными требованиями выплат по риску i в год j при соответствующем объеме риска P_ij. Тогда X_ij=Y_ij/P_ijи предположим, что

1. X_i,1|q_i,X_i,2|q_i,...,X_i,n|q_iпредполагаются независимыми, где q_i - параметр риска, ассоциированный с i-м риском,
2. q₁,q₂,...,q_Nнезависимы и одинаково распределенны,
3. для любой пары (i,k), i¹ k, (q_i , X_ij) и (q_k , X_kl) независимы,
4. E[X_ij,| q_i]=m(q_i)не зависит от j;
3. V[X_ij,| q_i]P_ij=s²(q_i)не зависит от j.

,

Пример 4.6. Страховая компания заключила договоры по страхованию автомобилей с семью компаниями, сдающими автомобили напрокат и имеющими парки аналогичных машин. Каждая прокатная компания имеет один договор, охватывающий все автомобили на один и тот же период. Ниже приведены данные для каждой из семи компаний, включающие совокупные выплаты Y за пять лет подряд в сотнях фунтов стерлингов и число застрахованных автомобилей P в эти годы.

Отметим, что Y_ij=X_ijP_ij, так что можно подсчитать, суммируя строку значений Y для компании i и разделив сумму на .

Теперь полезно записать полученные значения X_ij для каждой компании

, т.е. 7660

, т.е. 290

Отметим, что в отличии от эмпирической байесовской модели, коэффициент достоверности Z в модели Бюльмана-Штрауба различен для каждой страховки, так как он зависит от суммы объемов страхования для данной оцениваемой страховки.

Оценки нетто-взносов для других компаний равны:

Компания 3: 1380

Компания 4: 500

Компания 5: 1190

Компания 6: 670

Компания 7: 1690

4.1. Покажите, что математическое ожидание апостериорного распределения l после n лет имеет вид ;

Что говорит это выражение об относительной значимости априорной информации? Информации по договору страхования, накапливающейся с течением времени?

4.2. Предположим, что сверх-совокупность рисков, такова, что q~N(100,100), а распределение отдельных рисков условные по q , таковы, что x_i/q~ N(q ,10)

а) Сделайте набросок графика плотности распределения сверх-совокупности рисков.

б) Выберите 5 возможных реализаций q (псевдослучайным способом) из сверх-совокупности и набросайте график соответствующих плотностей.

в) Покажите, что коэффициент доверия Z равен , где n- указывает на число сроков страхования по отдельному риску (к примеру, n=2, то договор страхования заключается дважды, что дает два срока страхования). Вычисляя Z при n=0,1,2,3,4 оцените скорость, с которой доверительный взнос “переходит”от использования исключительно косвенных данных (когда Z» 0), к использованию (практически) только прямых данных об отдельном риске. Что определяет стремление Z à 1? Разумна ли такая ситуация?

г) Рассмотрите первый из выбранных рисков. Выберите 4 значения для общих размеров требований о выплате в 4 последовательных сроках страхования. Вычислите доверительный взнос после 0,1,2,3 и 4-го срока и сравните ответы с m и .

4.3. Данные приведенные ниже, показывают общие размеры страховых выплат по страхованию от огня промышленных объектов, полученные за шесть (последовательных) лет работы пятью страховыми компаниями. Для того, чтобы устранить влияние инфляции выплаты измеряются в сопоставимых единицах.

Таблица 4.4: Общие размеры страховых выплат пяти страховых компаний.

	1	2	Год 3	4	5	6
Риск 1	103	73	32	102	78	87
Риск 2	112	138	29	93	104	71
Риск 3	135	155	121	123	77	139
Риск 4	91	106	109	111	116	81
Риск 5	67	133	65	93	118	89

4.4. Вы вновь можете предполагать, что можно применять эмпирическую байесовскую модель. В этом примере страховщики располагают различным опытом наблюдения за рисками.

Таблица 4.5: Общие размеры страховых выплат четырех страховых компаний

	Год
	1	2	3	4	5	6
Риск 1	89	82	102	75	-	-
Риск 2	71	85	86	84	67	87
Риск 3	70	84	82	76	74	64
Риск 4	88	87	79	70	-	-

5. а) Сформулируйте, какая из следующих двух формул в обычной записи справедлива для коэффициента правдоподобия Z в модели 1 эмпирического байесовского правдоподобия.

,

.

б) Подтвердите свой ответ на вопрос пункта (а), прокомментировав, как Z должно вести себя в качестве функции от n, от и от .

6. Случайная величина Y_ij, i=1,2,...,N и j=1,2,...,6, и неслучайное число P_ij представляют собой совокупные требования выплат и соответствующий объем риска в год j по риску i в множестве N рисков. Данные { Y_ij , P_ij } удовлетворяют всем допущениям по модели 2 эмпирического байесовского правдоподобия. Данные по двум рискам в этом множестве являются следующими:

7. а) В таблице 1 приведены данные по количеству требований выплат и некоторая краткая статистика по имущественным требованиям выплат для полисов страхования туристов. Полисы были выписаны большой партией 4 различным туристическим компаниям на5-летний период.

Количество требований выплат Y

в) Единственной доступной мерой объема риска служит количество полисов, выписанных каждой страховой компанией. Они приведены в таблице 2 ниже. В таблице 3 дана краткая статистика с использованием обычных обозначений, в частности, .

Количество полисов P_ij.

8. Количество требований выплат по риску имеет пуассоновское распределение с параметром l , который не известен. Общее количество требований выплат по этому риску на протяжении прошедших nлет составляет N.

а) Найти статистику максимального правдоподобия l в терминах N и n.

б) Используя гамма (a ,b )-априорное распределение для l , найти байесовскую статистику l , по отношению к квадратическим убыткам в терминах N, n, aи b.

в) Показать, что байесовская статистика, найденная в пункте (а), есть статистика правдоподобия l.

г) Через 5 лет по риску возникло 19 требований выплат. Через последующие 5 лет по данному риску возникло всего 38 требований выплат. Учитывая, что a=9 и b=3, найти статистики правдоподобия для l на конец 5-го года и на конец 10-го года.

д) Оценка правдоподобия l с использованием модели 1 эмпирической байесовской теории правдоподобия составляет , где

Описать, как и относятся к априорному распределению l , когда оно является гамма(a ,b ) - распределением. Затем показать, что при пуассоновском / гамма предположениях коэффициент правдоподобия Z для статистики эмпирической байесовской модели 1 равен коэффициенту правдоподобия Z, рассчитанного для статистики Пуассона / Гамма.

9. а) Пусть P_n будет премией, взимаемой в n-ом году страхового договора. Допустим, что P_n вычислено с использованием формулы правдоподобия модели 1 эмпирической байесовской теории правдоподобия.

Показать, что

,

где k>0 есть некоторая постоянная величина, которую вы должны задать, а X представляет собой совокупные требования выплат по данному риску в n-й год.

б) Кратко прокомментировать это выражение для P_n+1.

4.10. Множество случайных величин представляет совокупные требования выплат за n последовательных лет от рисков N. Предполагается, что эти данные удовлетворяют допущениям по модели 1 эмпирической байесовской теории правдоподобия (ЭБТП), т.е. рассматривая вначале i-й риск, требования выплат предполагаются зависящими от неизвестного параметра рискаq_i, и

- одинаково распределены

- независимы и одинаково распределены

и для каждой пары различных рисков, X_ij и X_km, i¹ k с ассоциированными параметрами риска q_i и q_k, (X_ij, q_i) и (X_km, q_k) независимы и одинаково распределены.

а) 1) Показать, что статистики для и по модели 1 ЭБТП, данные на страницах с формулами в книге “Формулы и таблицы для актуарных экзаменов”, являются несмещенными. Можно использовать без доказательства тот результат, что для одинаково распределенных случайных величин Y₁,Y₂,...,Y_n с общей дисперсией s²

2. Дать примеры других несмещенных статистик для и

б) 1) В ниже приведенной таблице даны значения X_ij для каждого из 6 рисков из некоторого множества на протяжении 5 лет. Использовать эти данные для расчета премий правдоподобия модели 1 ЭБТП для риска номер 6.

2. Кратко поясните, почему эта модель может оказаться неудовлетворительной для этих данных.

11. а) Случайные величины Y_j, i=1,2,...,n представляют собой совокупные требования выплат в j-тый год по некоторому риску с ассоциированными (не случайными) объемами рисков P_j. Считается, что эти данные удовлетворяют положениям модели 2 эмпирической байесовской теории правдоподобия. Т.е., зависит от фиксированного, но неизвестного параметра , и с независимыми для и

1. Получить выражение, включающие только и

,

,

при .

2. Дано

,

где , показать, что значение , которое минимизирует

,

Ниже приводится резюмирующая статистика по пятилетнему опыту данного множества магазинов, используемая для оценки параметров модели. P есть число магазинов, покрываемых i-м риском в год j, а Y есть общие потери от краж (в тыс. £) по i-тому риску в год j (используя обозначения из книги “Формулы и таблицы для актуарных экзаменов”):

1. Объяснить, почему модель 1 эмпирической байесовской теории правдоподобия не была бы подходящей для этих данных.
2. Указать, какой риск имеет самый низкий коэффициент правдоподобия (коэффициенты правдоподобия не нужно вычислять) и объяснить почему.
3. Вычислить оценку правдоподобия совокупных ежегодных требований выплат для новой серии из 15 магазинов.
4. Вычислить оценку правдоподобия совокупных ежегодных требований выплат для розничной серии магазинов, которая продлевает свой страховой полис. Серия состояла из 10 магазинов, каждый из которых работал на протяжении последних 5 лет, общие убытки, понесенные от краж за это время составили £ 14000.

12. Последовательность случайных величин представляет совокупные требования выплат в последовательные годы по некоторому риску, а последовательность представляет соответствующие неслучайные объемы риска. Последовательность случайных величин

для j=1,2,3,...,n.