Одним из способов измерения значения, которое определенное лицо сопоставляет различным денежным сумма, является функция полезности u(x), где x - капитал.

Функция полезности обладает следующими свойствами:

1. ,
2. 

Пример 3.1.

У вас есть мотоцикл и Вы хотите его застраховать. Мотоцикл стоить £1000 и Вы расцениваете вероятность его полной потери как 0,1. Какова максимальная сумма, которую Вы готовы были бы заплатить за страховую защиту от указанной случайной потери.

Решение.

Это, конечно, субъективный вопрос, но предположим, что Ваш ответ £120. Важно отметить, что предполагаемая сумма превышает ожидаемый убыток. Ожидаемый убыток составляет

а Вы положили на страховую защиту на 20 больше . Какова функция полезности? Предположим, что Ваше состояние сводится только к этому мотоциклу, то Ваш капитал может изменятся в пределах от 1000 до 0. Поскольку функции u(x)и au(x)+b эквивалентны (a > 0), то можно зафиксировать два значения u(x). Положим u(0)=0 и u(1000)=1. Сейчас мы приравниваем полезность Вашего решения о внесении страхового взноса в £120 - u(1000-120) к ожидаемой полезности отказа от страхования, т.е. величине 0.9u(1000)+0.1u(0)=0.9. Таким образом, получаем u(880)=0.9.

На практике определить функцию полезности довольно трудно. Если функция полезности определена, то можно сравнить два экономических исхода - X и Y, обладающих признаками случайности, на базе ожидаемой полезности. Если ЛПР (лицо, принимающее решение) имеет капитал a и сравнивает исходы X и Y, то выбирается исход X, если

Рассмотрим лицо, обладающее капиталомa, желающее обезопасить себя от убытка X, обладающего признаками случайности. Максимальный страховой взнос, который потенциальный страхователь может заплатить - это сумма G, такая, что

u (a - G) = E ( u (a - X) ). (3.1)

Пример 3.2.

Элизабет использует для принятия решения функцию >0. Она может потерпеть ущерб X случайного характера, который имеет равномерное распределение на интервале [0,100] . Она получила предложения о заключении договора страхования, обеспечивающего защиту отXот трех страховых компаний A,Bи C.

Компания А предлагает полную страховую защиту от указанного риска. Страховой взнос составляет £52.

Х-10, если Х³10.

Компания В предлагает договор с безусловной франшизой. Страховой взнос составляет £42.

Компания С покрывает все убытки небольшого размера и некоторую долю больших убытков. Страховой взнос составляет £45.

Если Элизабет имеет £150, то у какой компании ей стоит покупать страховую защиту? Вычислим ожидаемую полезность каждого из четырех возможных действий Элизабет: отказ от страхования или страхования в одной из трех компаний. Отыщем то действие, ожидаемая полезностькоторого максимальна.

Начнем со следующего наблюдения: если убытков не будет, то к концу соответствующего срока и(150-0) =и(150) = 150^2/3= 28.23; с другой стороны, если убытки достигнут максимального размера, тои(150 - 100) =и(50) = 50^2/3= 13.57. Эти вычисления дают нам шкалу, по которой мы будем оценивать наши ответы.

Случай 1: Отказ от страхования. Ожидаемая полезность составляет:

Случай 2: Выбрана компания А. Капитал к концу срока действия договора страхования составляет £ 98, а его полезностьи(98) = 98^2/3= 21,26.

Случай 3: Договор заключается с компанией В. Страхователь берет на себя £ 10 от любого убытка х. Капитал в конце срока составит£(150-42-х), если х< 10, и£(150 -42-10), если х> 10. Ожидаемая полезность вычисляется следующим образом:

Е(Полезность) =

Случай 4: Страхует компания С. Страхователь полностью защищен от убытков, не превосходящих£50, и частично защищенотубытков, больших £50. К концу действия договора страхования капитал составит £ 105, если х< 50. В случае, если убыток превысит £ 50, то капитал страхователя составит:

Ожидаемая полезность, поэтому, такова

Е( Полезность) =

3.1. Предположим, что вероятность” списания со счета”Вашего мотоцикла составляет 0.2 и максимум того, что Вы готовы заплатить за страхование составляет £230. Ïîêàæèòå (пользуясь методикой примера 3.1), что u(770) = 0.8.Объясните почему было бы неразумно с Вашей стороны согласиться заплатить за страхование £250.

3.2. Покажите, чтоu(x)=- exp(-b x) является функцией полезности, т.е. покажите, чтоu¢ (x)>0и u¢¢ (x)<0. Пусть принимающий решение делает выбор между планами Х иY. Покажите, что его решение не зависит от исходного капитала a.

3.3. Предположим, что страховщика просят обеспечить страховую защиту от рискаX. Покажите, что минимальный допустимыйстраховой взнос, который может установить страховщик çà полную страховую защиту, это сумма Н, такая, что

гдеW - это капитал страховщика. Используя неравенство Иенсена, покажите, что Н³Е(Х). Выведите отсюда, что договор страхования возможен только если

3.4. Вероятность того, что некоторое имущество в течение договора не подвергнется ущербу составляет 0,75. Ущерб, если он имеет место, описывается экспоненциальным распределением со средним £100.

1. Покажите, что ожидаемые убытки собственника указанного имущества равны £25.

2. Покажите, что максимальный страховой взнос, вносимый за полную страховую выплату, равен £44.63. (Другими словами, собственник готовится оплатить лишние £44.63 - £25= £19.63 для того, чтобы обеспечить себе полную страховую защиту).

Подсказка: Используйте (3.1)

3.5. Собственнику из задачи 3.4 предлагается другой договор страхования, по которому возмещаются только половина понесенного убытка. Покажите, что максимальный страховой взнос, который готов оплатить собственник по этому договору страхования равен £28,62; это на £16,12 больше (части) ожидаемого убытка в описываемой ситуации.