1. Сведения из статистики

Для правильного управления страховой компанией фундаментальное значение имеет информация об общем размере требований о выплате за определенный период времени. В этой главе сконцентрировано внимание на одной из составляющих общего размера требований о выплате - на размерах отдельных требований о выплате. Предполагается, что указанные размеры отдельных требований описываются специальными распределениями, называемыми распределениями потерь (убытков).

Обычно предполагается, что распределение требований о выплате находится в некотором классе распределений. Тогда возникает задача оценки параметров, от которых зависят распределения, лежащие в упомянутом семействе. Эти оценки проводятся с помощью данных о требованиях страховых выплат и подходящих методов (например, метода моментов или метода максимального правдоподобия). При решении описанных задач могут возникнуть проблемы: например, из-за того, что размер требований о выплате ограничивается (перестрахование) или, потому, что нужно отсекать требования небольшого размера (франшиза).

Познакомимся с некоторыми техническими приемами, использующимися для описания распределений случайных величин на конкретном примере, который будет использоваться на протяжении всей главы.

Пример 2.1.

2. Экспоненциальное распределение

Для оценки параметра экспоненциального распределения используется метод максимального правдоподобия.

Предположим, что x₁,...,x_n - независимые константы наблюдения, т.е. значения, которые принимала случайная величина X (размер отдельных требований о выплате), следующая экспоненциальному распределению с плотностью

Оценка максимально правдоподобия (см. п. 1.5.1), это и ассимптотически ~, где - оцениваемый параметр.

Таким образом, для описания данных таблицы 2.1. можно рассмотреть экспоненциальное распределение со средним .

Произведем тестирование подгонки, используя критерий (см. 1.6.), т.е. дадим формальный ответ на вопрос о близости подобранного экспоненциального распределения к данным.

Сгруппируем 96 констант наблюдения в 12 классов и установим ожидаемое число элементов в каждом классе равным 96/12=8. Если F(x) - это функция распределения X ~ E(1/q ), то

Пусть c_j - верхняя граница для элементов, лежащих в j-м классе. Выберем c_jиз условия

Величины c_j приведены в таблице 2.2. - они указывают на границы классов, и в каждом классе указана зарегистрированная (по данным таблицы 2.1) константа и ожидаемая (по построенной модели) величина.

Таблица 2.2. Зарегистрированные и ожидаемые величины

(экспоненциальная модель)

Подсчитывая обычным способом статистику , находим

С вероятностью 0.95 значению с 10 степенями свободы (см. приложение 3) равно 18.3 и поэтому имеются достаточные основания для того, чтобы забраковать первоначальную гипотезу о том, что разброс данных описывается экспоненциальным распределением.

Рис 2.2. Гистограмма и подогнанная экспоненциальная модель.

Рисунок 2.2 показывает, что подгонка действительно плохая: требования размером около £ 500 превышают подогнанные для них, а требования размером от £ 2000 до £ 7000, напротив, ниже подогнанных. Кроме того, очень большие требования превышают подогнанные (на гистограмме не отражено).

Вывод таков: необходимо подобрать распределение, у которого бы “оба хвоста весили больше”, чем у экспоненциального распределения. Таким распределением может служить распределение Парето.

3. Распределение Парето

Для моделирования потерь страхования используется распределение Парето (см. п. 1.1.2.).

Напоминаем, что X~ P(a ,l ), если .

Оценим параметры распределения Парето, используя метод максимального правдоподобия. Пусть и - оценки максимального правдоподобия для распределения P(a ,l ), полученные по данным (x₁,...,x_n)=x.

(2.1)

(2.2)

Приравнивая (2.1) и (2.2) получим уравнение для нахождения

Откуда .

Оценки по методу максимального правдоподобия можно получить, используя метод Ньютона: .

Таким образом, имеются три подгонки под данные: первую дает экспоненциальная модель со средним 2980, вторая и третья являются моделями Парето, но с параметрами, найденными применением двух различных методов. Для сравнения подгонок используем критерий .

Для каждого случая определим величину :

Экспоненциальная модель: =23,0 с 10 степенями свободы;

Модель Парето (моменты): =6,9 с 9 степенями свободы;

Модель Парето (макс. правд.): =5,9 с 9 степенями свободы.

Очевидно, что модель Парето дает превосходную подгонку и существенно улучшает экспоненциальную модель. Между моделями Парето разница небольшая, хотя как и ожидалось подгонка методом максимального правдоподобия чуть лучше - с позиции критерия . Улучшение подгонки очевидно и из рисунка 2.

4. Перестрахование

Требование о выплате, предъявляемое страховой компании, должно быть оплачено в полном объеме, но, защищая себя от катастрофических выплат, компания может заключить договор страхования, который называется договором перестрахования. Рассмотрим договоры перестрахования двух типов: договор эксцедентного перестрахования и договор пропорционального перестрахования.

1. Пропорциональное перестрахование

При пропорциональном перестраховании страховщик выплачивает оговоренную долю страховой выплаты, независимо от ее размера. Пропорциональное перестрахование можно описать так: если предъявлено требование о выплате X, то

Параметр a называется долей удержания, 0<a <1; X - размер требования; Y - сумма, выплачиваемая страховщиком;Z - сумма, выплачиваемая перестраховщиком. Распределение выплат страховщика и перестраховщика может быть найдено простой заменой переменной.

2. Эксцедентное перестрахование

В ситуации эксцедентного перестрахования компания производит выплаты в полном объеме по всем требованиям, размеры которых не превосходят некоторой суммы M, называемой уровнем удержания; если размер требования превышает M, разница погашается перестраховщиком. Погашения эксцедентного договора перестрахования можно описать так: если поступает требование размером X, то компания платит сумму Y, где

Перестраховщик платит сумму Z, где

Очевидно, X=Y+Z.

,

Если под действием инфляции размеры требования о выплате Xисчисляются как kX, где k - некоторый множитель, то среднее значение суммы, за которую отвечает страховщик имеет вид

x₁,x₂,M,x₃,M,x₄,x₅,... (2.3)

Выборки вида (2.3) называются цензурованными. Цензурованные выборки получаются, когда некоторые величины регистрируются точно, а про оставшиеся известно только, что они превосходят определенную величину (например, M).

где F(X) - функция распределения страховых выплат;

n - число страховых выплат, размеры которых x_i - точно известны;

m - число страховых выплат, произведенных совместно с перестраховщиком.

Предположим, что распределение, которому подчиняются страховые выплаты, имеет плотность f(x) и функцию F(x), перестраховщик располагает информацией лишь о выплатах, превосходящих M, т.е. Z = X-M, X ³ M. Функция плотности g(z) суммы Z, выплачиваемой перестраховщиком имеет вид

(2.4)

5. Безусловная франшиза

Договор страхования с безусловной франшизой предусматривает, что страхователь соглашается полностью принимать на себя ущерб, не превышающий некоторого предела L, который называется франшизой.

Если ущерб страхователя составляет сумму X, то страхователь может требовать только X-L, т.е. сумма Y, которую выплачивает по договору страховщик, равна

Y=

Если убытки по некоторому виду страхования описываются распределением с плотностью f(x), тогда среднее страховой выплаты по договорам, предусматривающим безусловную франшизу L, составляет

2.1. Предположим, что x₁,x₂,...,x_n–независимые константы наблюдения, т.е. значения, которые принимала случайная величина Х, следующая экспоненциальному распределению с плотностью

2.2. Пусть ~. Покажите, что

2.3. Используя метод моментов, найдите оценки параметров aи lраспределения Парето для данных из таблицы 2.1.

2.4. Пусть уровень собственного удержания компании составляет £25000. Используя распределение Парето, оцените вероятность того, что некоторое требование о выплате превзойдет указанный уровень.

2.5. Предположим, что Х следует экспоненциальному распределению со средним 1/l, M- уровень собственного удержания. Покажите, что сумма U имеет следующее среднее

2.6. Предположим, что распределение страховых выплат экспоненциальное со средним 1/l . Имеется n страховых выплат x₁,x₂,...,x_n, зарегистрированных точно и m выплат, произведенных вместе с перестраховщиком, причем уровень собственного удержания равен M . Найдите для l оценку максимального правдоподобия, и укажите стандартную ошибку.

2.7. Пусть распределение страховых выплат (в целом) экспоненциальное со средним 1/l , и установлено собственное удержание M . Найдите распределение выплат, приходящихся на долю перестраховщика.

2.8. Пусть распределение потерь (общих) – экспоненциальное со средним 1/l , доля удержания равна a , любое требование о выплате погашается. Найдите распределение потерь: (a) страховщика, (b) перестраховщика.

2.9. Предположим, что страховые выплаты Х, производимые страховщиком, следуют распределению Парето. Покажите, что заключение договора перестрахования с уровнем удержания M приводит к тому, что среднее выплат, производимое страховщиком, уменьшается на

2.10. Если распределение страховых выплат (в целом) является распределением и уровень собственного удержания равен M , покажите, что распределение выплат, производимых перестраховщиком, – это распределение

2.11.Убытки по некоторому страховому портфелю в течение первого года описываются распределением с плотностью f(x); действующая на втором году инфляция с показателем kобуславливает увеличение страховых выплат в k раз. Договор страхования предусматривает фиксированную безусловную франшизу. Покажите, что среднее страховых выплат, производимых в течение второго года, составляет

E(Y)=, где L^*=L/k

2.12. В условиях предыдущей задачи предположите, что распределение убытков страхователей - это распределение Р(a,l). Покажите, что среднее страховых выплат на втором году таково:

E(Y)=, где l^*=kl

Подсказка: одно решение вытекает из упражнение 2.11. (Можете ли Вы придумать еще одно?)