1. Распределения, встречающиеся в работе страховщика

1. Распределения количества требований выплат N:

• биномиальное распределение, N~ B(n,p);
• распределение Пуассона, N~ P(l t);
• отрицательно-биномиальное распределение, N~ NB(n,p).

1. Биномиальное распределение

Если:

а) имеется n независимых договоров страхования,

б) вероятность требования одинакова для всех договоров и равна p,

то число требований о выплате - N имеет биномиальное распределение с параметрами n и p (пишем N~ B(n,p)). Случайная величина Nпринимает значение r с вероятностью

2. Распределение Пуассона

а) во время коротких временных интервалов Dt может быть предъявлено не более одного требования о выплате;

б) вероятность того, что будет предъявлено только одно требование о выплате равна lDt;

то число требований о выплате за период времени t-N имеет распределение Пуассона с параметром lt (пишем N~ P(l t)). Случайная величина N принимает значение r с вероятностью

где l - среднее значение числа требований о выплате за единичный период времени. Распределение Пуассона может использоваться в качестве хорошего приближения биномиального распределения, если nвелико, а p мало. Тогда в качестве l нужно взять np.

3. Отрицательно-биномиальное распределение (распределение Паскаля)

В обычном биномиальном распределении число испытаний n задано заранее, а значение вероятности случайной величины определяется числом неудач. В отрицательном биномиальном распределении значение вероятности случайной величины определяется числом независимых испытаний, при котором происходит фиксированное число неудач. Пусть k и r представляют соответственно число испытаний и фиксированное число неудач. Тогда плотность вероятности отрицательного биномиального распределения описывается выражением

Здесь Pr(N=k) - вероятность того, что при k испытаниях будет иметь место r неудач.

2. Распределение размера требований выплат T:

• экспоненциальное распределение, T~ E(l );
• нормальное распределение, T~ N(m ,s²);
• распределение Парето, T~ P(a ,l );
• гамма-распределение, T~ G(a ,l );
• логнормальное распределение, T~ LN(m ,s );
• распределение Вейбулла, T~ W(c,g ).

1. Экспоненциальное распределение(гамма-распределение с a=1, b=1/l)

Если

процесс предъявления требований о выплате является пуассоновским с показателем l,

то случайная величина T - “период времени до первого требования о выплате” имеет функцию плотности экспоненциального распределения:

f(t)=l e^{-l t}(пишемT~ E(l ))

2. Нормальное (гаусовское) распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины T, которое описывается плотностью

s- среднее квадратическое отклонение.

Пишем T~ N(m ,s²).

Вероятность попадания случайной величины T в интервал (a ,b ) вычисляется по формуле

где Ф(z) - функция Лапласа (Ф(z) - нечетная функция). Таблица значений функции приведена в приложении 1.

3. Распределение Парето

Случайная величина T имеет распределение Парето с параметром a и l , если

Пишем T~ P(a ,l ).

4. Гамма - распределение (распределение Эрланга)

Случайная величина T имеет гамма-распределение с параметрами a и d , если

Пишем T~ G(a ,d ).

2. Функция распределения вероятностей случайной величины

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньше x, т.е.

1. 0 £ F(x) £ 1.
2. F(x₂) ³ F(x₁), если x₂ > x₁.
3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то

.

Первую производную от функции распределения F(x) называют плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X

1. 
2. f(x) ³ 0
3. 

3. Количественные характеристики случайной величины

1. Математическое ожидание

Пусть X - дискретная случайная величина, принимающая значения x_i с вероятностью p_i. Тогда математическое ожидание X - это величина

Если X~ B(n,p), то E(X)=np.

Если X~ P(l t), то E(X)=l t.

Если T - непрерывная случайная величина с функцией плотности f(t), t>0, то математическое ожидание задается следующим образом

Если T~ E(l ), то E(T)=1/l .

Если T~ N(m ,s²), то E(T)=m ..

Если T~ P(a ,l ), то E(T)=l /(a -1), a >1.

Если T~ G(a ,d ), то E(T)=a /d .

а) E(a )=a , a =const

б) E(a X)=a E(X) , a =const

в) E(X₁+X₂)=E(X₁)+E(X₂)

г) E(X₁X₂)=E(X₁)E(X₂) , если X₁,X₂ - независимые случайные величины.

Пример 1.1.

Решение.

Предполагаем, что число требований о выплате, сделанных по договору общего страхования - N принимает значение n_i с вероятностью p_i. Пусть X_i - это размер i-го требования о выплате; предположим, что все X_i независимы друг от друга и от числа предъявляемых требований и имеют одно и то же математическое ожидание m_x. Пусть T - общий размер требований о выплате. Тогда

где m_N - математическое ожидание числа требований о выплате.

Последний результат можно записать в форме

Пример 1.2.

В кошельке четыре монеты. Три из них ведут себя честно, т.е. вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты равна - Pr(орел)=0.5. Четвертая монета нечестная - Pr(орел)=0.8. Из кошелька вытаскивается одна монета и дважды подбрасывается. Каково математическое ожидание числа выпавших орлов?

Решение.

Условное распределение числа выпавших орлов, при условии, что была вытащена “честная” монета - это распределение В(2;0.5), математическое ожидание которого равно 1; условное распределение числа орлов, при условии, что была вытащена “нечестная” монета - это распределение В(2;0.8) со средним значением, равным 1.6.

Е(число орлов)=Pr(монета “честная”)Е(число орлов|монета “честная”) + Pr(монета “нечестная”)Е(число орлов|монета “нечестная”) = 0.75*1 + 0.25*1.6. = 1.15.

2. Дисперсия

Дисперсия случайной величины X показывает колебания уровня требований около среднего значения, и определяется по формуле:

а) V(a )=0, a =const

б)V(a X)=a²V(X), a =const

в) V(X₁+X₂)=V(X₁)+V(X₂), если X₁,X₂ - независимые случайные величины

Когда желательно, чтобы оценка рассеивания имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение

Пример 1.3.

Вероятность предъявления требования о выплате по срочному договору страхования равна 0.1. Если требование о выплате имеет место, его размер следует равномерному распределению на интервале [0,1000]. Найти среднее и дисперсию страховых выплат.

Пусть B~ U(0,1000)и I - индикатор требования о страховой выплате, т.е. I=0, если требование о выплате не предъявлено и I=1, если требование о выплате было предъявлено. Используя (1.1), (1.2) имеем

Среднее составляет £ 50 при среднем квадратичном отклонении в £ 176.

3. Производящие функции моментов

Часто применяемым средством для вычисления математических ожиданий является производящая функция моментов.

Момент порядка iслучайной величины X, обозначаемый через m_i¢- это число, определяемое следующим образом

Здесь E(X)= m_1¢=m.

Производящая функция моментов (m.g.f.) случайной величины X определяется так

В случае, когда все моменты распределения существуют, можно выразить M_x(t) в виде степенного ряда

Отсюда сразу же получается выражение для момента n-го порядка.

Пример 1.4.

Пусть X~ B(n,p). Определить m.g.f.

, где , используется бином Ньютона.

По теореме Тейлора имеем

.

Пример 1.5.

Пусть T~ E(l ). Найти m.g.f., E(T),V(T).

Решение.

.

При вычислении интеграла был использован следующий трюк. Если f(t), t>0 - это произвольная функция плотности, то . Этот факт мы использовали, заметив, что подынтегральное выражение во втором интеграле пропорционально функции плотности экспоненциального распределения E(l -s).

.

4. Центральная предельная теорема

Пусть X₁,X₂,...,X_n - независимые и одинаково распределенные случайные величины. Предположим, что .

имеет при больших nраспределение, близкое к стандартному нормальному распределению, или в альтернативной формулировке

Последнее приближение становится тем лучше, чем больше n; другим фактором, влияющим на это является также асимметрия генеральной совокупности. Для генеральных совокупностей с симметричными плотностями приближение к нормальному распределению довольно близко уже для выборок с объемом по меньшей мере 10, в то время как для совокупностей, чьи плотности не симметричны, необходимый объем выборки должен быть 50 или даже больше.

К несчастью, распределение размеров требований о выплате скорее сильно несимметрично, поэтому центральная предельная теорема применима здесь ограничено.

Пример 1.6.

Прежде чем мы начнем решать эту задачу, сделаем одно техническое замечание. Нормальное распределение непрерывно. Общее число требований о выплате - X, которое будет предъявлено страховой компании, следует биномиальному распределению В(100, 0.25); это распределение дискретно. Таким образом, мы разыскиваем аппроксимацию (приближение) дискретного распределения с помощью непрерывного нормального распределения. В таких случаях мы мысленно заменяем значение 30, принимаемое дискретной случайной величиной X, следующей, биномиальному распределению, интервалом (29.5, 30.5), в котором принимает значение случайная величина Y, имеющая подходящее нормальное распределение. Используя математическое ожидание E(X)=npи дисперсию V(X)=npq биномиально распределенной случайной величины X, мы найдем, что аппроксимирующее нормальное распределение должно иметь следующие параметры:

Pr(X = 30) » Pr(29.5 < Y < 30.5), где Y ~ N(25,18.75).

Pr(1.04 < Z < 1.27) = Ф(1.27) - Ф(1.04) = 0.898 - 0.851 = 0.047.

Точное вычисление Pr(X = 30) дает 0.046.

5. Оценки

1. Оценки максимального правдоподобия

Пусть случайные величины X₁,X₂,...,X_n ассоциированы с некоторыми константами (наблюдениями) x₁,x₂,...,x_n. Предположим, что все X_i независимы и имеют одну и ту же функцию плотности f(x,q ) (fзависит от q , т.е. от оценки; оценивается q₀).

1. Записать функцию правдоподобия .
2. Найти логарифм функции правдоподобия - l(q )и из уравнения определить , где оценка максимального правдоподобия параметра q.
3. Определить , а затем , где - информационная функция.
4. Определить дисперсию

Оценка , рассматриваемая как случайная величина, при больших n имеет следующие свойства:

а) (приближенно) нормальное распределение;

б) математическое ожидание q₀;

в) дисперсию .

Пример 1.7.

Определенная часть портфеля автотранспортного страхования состоит из n идентичных и независимых договоров страхования. Обозначим через x_i число требований о выплате, предъявляемых (к данному моменту времени) по i-му договору страхования. Процесс предъявления требований о выплате пуассоновский с показателем l . Оценить параметр l.

Составляем функцию правдоподобия:

,

где С - выражение, зависящее от фиксированных величин x_i и не зависящее от параметра l.

Из условия получаем

Вычислим дисперсию оценки двумя способами:

1. , где V(x_i)=s², i=1,...,n. Поскольку X~ P(l ) Þ V(x)=lÞ.
2. 

2. Байесовские оценки

В основе байесовского метода лежит идея сопоставления неизвестному параметру некоторой случайной величины. Предполагается, что новый риск подчиняется априорному распределению. Теорема Байеса позволяет скорректировать априорное распределение, учитывая поступающую дополнительную информацию:

Здесь f(q |данные) - апостериорное распределение;

f(q ) - априорное распределение;

f(данные|q ) - функция правдоподобия.

Функция f(данные) не зависит отl, поэтому уравнение можно переписать так

f(q |данные)µ f(q )f(данные|q ),

гдеµ- знак пропорциональности.

Проблема заключается в выборе априорного распределения. Чаще всего пытаются выбирать априорное распределение в некотором достаточно обширном классе распределений, например, гамма-распределение.

Пример 1.8.

Пусть l~G(a,d ), где

Предположим, что страхователь предъявил за год x требований о выплате и что x~ P(l ). Вычислим апостериорное распределение.

Решение.

апост. плотность µапр. плотн. * плотн. макс. правд. =la^-1exp(-dl ) * exp(-l )l^x

f(l |данные)µl^{x+a -1}exp(-(d +1)l ), l >0

Из последнего соответствия видно, что апостериорная плотность является плотностью гамма - распределения G(x+a ,d +1). Таким образом, как априорное, так и апостериорное распределение находятся в одном и том же классе распределений.

6. Проверка качества подгонки

При помощи критерия c² проверяют, удовлетворяет ли рассматриваемая случайная величина X заданному закону распределения F₀(x). Критерий согласия c² служит для проверки гипотезы H₀ о том, что F_X(x)= F₀(x), где F_X(x) - функция распределения X, а F₀(x) - заданное (гипотетическое) распределение.

Рассмотрим сначала случай, когда F₀(x) не содержит неизвестных параметров. Область значений случайной величины Xделится на конечное число непересекающихся классов D₁,...,D_k. При непрерывном X классы D_i являются промежутками, при дискретном X - группами возможных значений X. Пусть p_i - “теоретическая вероятность” того, что X попадает в D_i, если гипотеза H₀ верна. Если D_i =[a_i,b_i], то p_i=F₀(b_i)-F₀(a_i).

Теперь из X производится выборка (X₁,...,X_n) объема n. Пусть M_i - число значений выборки в D_i. Тогда

(1.3)

Разбиение на классы произвольно. Необходимо, однако, чтобы для граничных классов выполнялось неравенство np_i³1, для остальных классов np_i³5; этого можно добиться за счет укрупнения классов. Если разбиение на классы удовлетворяет указанным требованиям, то контрольная величина равна

(1.4)

В предположении, что гипотеза H₀ верна, X имеет асимптотическое c²-распределение с m=k-1 степенями свободы. Так как c² есть мера отклонения истинного распределения от гипотетического, то гипотеза отвергается, если значение, вычисленное по конкретной выборке согласно (1.4), превышает определенное критическое значение c^2a, которое для заданного уровня значимости a и m=k-1 степеней свободы находится из таблицы 3 (см. приложение 3). Если c²³c^2a, то гипотеза отвергается. Для n>30 значение c^2aнаходятся уже не из таблицы, а вычисляются по формуле

,

где Z_2a, определяемое равенством 2Ф₀(Z_2a)=1-2a, вычисляется по таблице 2 (см. приложение 2).

Если гипотетическое распределение F₀(x) установлено неоднозначно, и гипотеза говорит лишь о том, что F₀(x) относится к определенному множеству функций распределения F(x;q₁,...,q_r), которое зависит от r параметров. В этом случае поступают следующим образом: по выборке получают наиболее правдоподобные оценки параметров и принимают , затем по формуле (1.3) вычисляются p_i, а по (1.4) - величина c². Если производится оценка rпараметров, то остается только

m=k-r-1 степеней свободы. В остальном критерий остается прежним.

Пример 1.9.

Проверить, дает ли пуассоновская модель хорошее описание этих данных?

Выберем для подгонки пуассоновскую модель с математическим ожиданием, совпадающим со средним значением приведенных данных. Предположим, что страхователи, предъявившие ³ 5 требований, предъявили на самом деле в точности 5 требований. Тогда

.

Вычислим

Вычислим c² с уровнем значимости 0.05 и числом степеней свободы 4.

Поскольку c²_кр > c², то гипотеза об описании данных распределением Пуассона отвергается.

7. Сложные распределения

1. Производящие функции распределений

Пусть X - дискретная случайная величина, принимающая значения 0,1,2,... с вероятностями p₀,p₁,p₂,..... Производящая функция распределения определяется следующим образом

(1.5)

Пример 1.10.

Предположим, что X~ P(l ). Определить производящую функцию распределения.

Решение.

(1.6)

Пусть, например, X и Y- независимые и одинаково распределенные случайные величины с общей производящей функцией G(t), тогда

(1.7)

2. Сложные распределения

Пусть случайная величина N описывает число требований о выплате, предъявляемых по некоторому договору общего страхования; случайные величины X_i соответствуют размерам требований о выплате. Рассмотрим модель процесса предъявления требований о выплате, согласно которой сначала выбирается число требований N, а потом независимо указывается размер каждого требования о выплате. Пусть T - общий размер требований о выплате. Тогда T имеет сложное распределение и

(1.8)

где G_x(t) - производящая функция распределения X,

G_N(t) -производящая функция распределения N.

1.1. Вероятность предъявления требования о выплате по 4 независимым договорам страхования жизни в календарном году равна 0.25. Найти вероятность того, что будет предъявлено 0,1,2,3,4 требования о страховой выплате. Определите вероятность того, что будет предъявлено 2 или более требований о выплате.

1.2. Вероятность предъявления требования о страховой выплате в связи со смертью по каждому из 4 договоров страхования жизни равна 0.25. Покажите, что математическое ожидание числа требований о выплате равно 1.

1.3. Пусть X~ B(3,q). Покажите, что E(X²)=3q+6q², V(X)=3pq.

1.4. Пусть X~ B(n,p). Используя m.g.f.. Используя формулу V(X) = E(X²) - E²(X), найдитеV(X).

1.5. Предположим, что Xимеет распределение Пуассона и математическое ожидание Xравно l . Покажите, что m.g.f. Xтакова, что

Выведите отсюда, что дисперсия Xравна l (т.е. совпадает с математическим ожиданием).

1.6. Предположим, что Т~ Е(l). Покажите, что ; выведите отсюда, что .

1.7. ПустьX ~ N(m ,s²).Разложите m.g.f. в ряд по степеням t, и покажите, что E(X)=mи V(X)=s².

1.8. Рассмотрим договор страхования жизни сроком на 10 лет. Вероятность предъявления требования о выплате по этому договору страхования равна 0.25. Предположим, что страховая компания заключила 100 независимых договоров страхования.Найдите вероятность того, что к окончанию срока действия договоров страхования будет предъявлено

1. более, чем 30 требований о выплате,
2. точно 25 требований о выплате.

1.9. Предположим, что число требований о выплате, предъявляемых по договорам автотранспортного страхования в течение календарного года следует распределению Пуассона с математическим ожиданием 0,2. Предположим, что имеется 100 идентичных и независимых договоров страхования, действующих на протяжении календарного года. Каково точное распределение общего числа требований о выплате, предъявленных за срок действия договора (за год)? Вычислите вероятность того, что будет предъявлено 19,20 и 21 требование о выплате на протяжение года. Какое нормальное распределение может использоваться для аппроксимации точного распределения? Почему в этом случае мы можем применять центральную предельную теорему? Каковы приближенные вероятности, что будет предъявлено 19,20 и 21 требование о выплате? Как сравнивать приближения с точными вероятностями?

1.10. Предположим, что размеры требований о выплате имеют экспоненциальное распределение Е(l ). Пусть x₁,x₂,...,x_n-размеры требований о выплате, которые были предъявлены страховой компании. Покажите, что оценка максимального правдоподобия параметра l равна .

1.11. Найдите аппроксимирующее распределение для оценки максимального правдоподобия из задачи 1.10.

1.12. Пусть X~ G(a ,d ). Покажите, что E(C)=.

1.13. Предположим, что мы располагаем данными о работе со страхователем, о котором говорилось в разделе 1.5.2, за n лет. Число требований о выплате, которые он предъявлял в каждые из этих n лет таково: x₁,x₂,...,x_n. Покажите, что апостериорное распределение l-это распределение .

1.14. Используя задачи 1.12, 1.13,покажите, что математическое ожидание апостериорного распределения l после n лет имеет вид ;

Что говорит это выражение об относительной значимости априорной информации? Информации по договору страхования, накапливающейся с течением времени?

1.15. В течение некоторого срока велись записи о повреждениях (авариях) 2500 торговых кораблей определенного типа, застрахованных от повреждений (аварий) от избранного числа причин. Данные сгруппированы и приведены в таблице.

Таблица частоты повреждений для 2500 торговых кораблей

Число аварий(x)	0	1	2	3	4	5	6	³ 7
Число кораблей с (x) авариями	1387	796	257	53	5	1	1	0

Подгоните эти данные пуассоновской модели и протестируйте ее, используя критерий c². (Покажите, что . После этого заметьте, что малые ожидаемые значения дают нестабильный (большой) вклад в c² и, чтобы избежать этого, соедините четыре последних класса в один класс-“число требований ³5”)

1.16. Число требований о выплате по некоторому договору страхования за год-N,имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием l . Требования о выплате независимо и с вероятностью р размер требования о выплате может принять некоторое большое значение (“большое” требование). Покажите, что математическое ожидание числа больших требований за год равно lp.

1.17. Годичное число автомобильных аварий без смертельного исхода на некотором перекрестке следует распределению Пуассона со средним 4,6. Число лиц в автомобиле(ях), попавших в какую-либо из этих аварий, может быть описано следующим образом:

1.18. Предполагая, что Xимеет распределение B(n,p), покажите, что производящая функция X есть (1-p+pt)ⁿ.

1.19. Предположим, что X~ P(l₁), Y~ P(l₂), причем X и Y независимы. Найдите производящую функцию X+Y, получите распределение X+Y.

1.20. Используя (1.6) и (1.7), проверьте, что математическое ожидание случайной величины, имеющей распределение P(l ) равно l.

1.21. Пусть X-случайная величина, принимающая целые значения, которая имеет производящую функцию G(t). Покажите, что

Используя это равенство, вычислите дисперсию случайной величины с распределением P(l ).

1.22. Пусть T - сумма случайного числа N величин X_i, X_i - независимы одинаково распределены. Покажите, что дисперсия Т может быть вычислена по формуле

где -дисперсия числа требований о выплате N, а -дисперсия размера требования о выплате X.

1.23. В условиях задачи 1.16 покажите, что число “больших” требований имеет распределение P(lp) . (Подсказка: используйте (1.8) и (1.6) и задачу 1.18.)

24. Вернемся к задаче 1.17. найдите производящую функцию для общего числа потерянных в течение года рабочих дней. Сделав это, проверьте Ваш ответ к задаче 1.17, пользуясь полученной информацией.

1.25. Пусть I_i, i= 1,2,...,n - независимые случайные величины, такие, что Рr(I_i=1)= pи Рr(I_i = 0) = q = 1— р. Пусть X=

а) Каково распределениеX ?

b) Покажите, что Е( I_i ) = р и V(I_i)=pq.

1.26. Вероятность предъявления требования о выплате по срочному договору страхования равна 0.05. Если требование о выплате имеет место, его размер подчиняется распределению Парето Р(3, 1000). Используя второй метод предыдущего примера, найдите среднее значение и среднее квадратическое отклонение размера требования о выплате.

Подсказка: используйте упражнение 3.2.